Resolva o seguinte sistema de equações diferenciais de primeira ordem com coeficientes constantes:
dx/dt = 3x + 4y dy/dt = -4x + 3y
Suponha que x(0) = 1 e y(0) = 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais de primeira ordem com coeficientes constantes que você me passou. O sistema é:
dx/dt = 3x + 4y dy/dt = -4x + 3y
Além disso, temos as condições iniciais x(0) = 1 e y(0) = 0. Para resolver isso, vamos precisar usar métodos de resolução de sistemas lineares de equações diferenciais, como encontrar os autovalores e autovetores da matriz do sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos representar o sistema de equações em forma matricial. Isso facilita o processo de encontrar os autovalores e autovetores. Nosso sistema pode ser escrito como:
onde

Passo 3

Para resolver o sistema, precisamos encontrar os autovalores ( lambda) da matriz A. Os autovalores são encontrados resolvendo a equação característica:
Calculando o determinante:
Resolvendo para lambda:
Então, os autovalores são e .

Passo 4

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Vamos começar com .
Resolvemos :
Simplificando:
Podemos ver que . Portanto, o autovetor correspondente é .

Passo 5

Com os autovalores e autovetores em mãos, a solução geral do sistema pode ser escrita usando exponenciais complexas. Para cada par de autovalores e autovetores, temos:
onde . No nosso caso, e . Substituindo, temos:
Isso resulta nas soluções para x(t) e y(t):

Passo 6

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar as constantes. Quando :
As condições iniciais já estão satisfeitas com as constantes encontradas, então não precisamos ajustar nada.

Resposta

A solução do sistema de equações diferenciais é:

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