Resolva o seguinte sistema de equações diferenciais de primeira ordem com coeficientes constantes:
Suponha que e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais de primeira ordem com coeficientes constantes que você me passou. O sistema é:
Além disso, temos as condições iniciais e . Para resolver isso, vamos precisar usar métodos de resolução de sistemas lineares de equações diferenciais, como encontrar os autovalores e autovetores da matriz do sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos representar o sistema de equações em forma matricial. Isso facilita o processo de encontrar os autovalores e autovetores. Nosso sistema pode ser escrito como:
onde

Passo 3

Para resolver o sistema, precisamos encontrar os autovalores ( ) da matriz . Os autovalores são encontrados resolvendo a equação característica:
Calculando o determinante:
Resolvendo para :
Então, os autovalores são e .

Passo 4

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Vamos começar com .
Resolvemos :
Simplificando:
Podemos ver que . Portanto, o autovetor correspondente é .

Passo 5

Com os autovalores e autovetores em mãos, a solução geral do sistema pode ser escrita usando exponenciais complexas. Para cada par de autovalores e autovetores, temos:
onde . No nosso caso, e . Substituindo, temos:
Isso resulta nas soluções para e :

Passo 6

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar as constantes. Quando :
As condições iniciais já estão satisfeitas com as constantes encontradas, então não precisamos ajustar nada.

Resposta

A solução do sistema de equações diferenciais é:

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Resolva a equação diferencial não homogênea:
Suponha que e .
Encontre a solução geral do sistema:
Esboçar as curvas seguintes, representando o sentido positivo de percurso. Obter uma parametrização da curva dada, orientada no sentido contrário.
e)
Determinar a equação da reta tangente às seguintes curvas, nos pontos indicados.
a)