Resolva o seguinte sistema de equações diferenciais de primeira ordem com coeficientes constantes:
Suponha que
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais de primeira ordem com coeficientes constantes que você me passou. O sistema é:
Além disso, temos as condições iniciais
e
. Para resolver isso, vamos precisar usar métodos de resolução de sistemas lineares de equações diferenciais, como encontrar os autovalores e autovetores da matriz do sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos representar o sistema de equações em forma matricial. Isso facilita o processo de encontrar os autovalores e autovetores. Nosso sistema pode ser escrito como:
onde
Passo 3
Para resolver o sistema, precisamos encontrar os autovalores (
) da matriz
. Os autovalores são encontrados resolvendo a equação característica:
Calculando o determinante:
Resolvendo para
:
Então, os autovalores são
e
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Vamos começar com
.
Resolvemos
:
Simplificando:
Podemos ver que
. Portanto, o autovetor correspondente é
.
Passo 5
Com os autovalores e autovetores em mãos, a solução geral do sistema pode ser escrita usando exponenciais complexas. Para cada par de autovalores e autovetores, temos:
onde
. No nosso caso,
e
. Substituindo, temos:
Isso resulta nas soluções para
e
:
Passo 6
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar as constantes. Quando
:
As condições iniciais já estão satisfeitas com as constantes encontradas, então não precisamos ajustar nada.
Resposta
A solução do sistema de equações diferenciais é:
Exercícios relacionados
Resolva a equação diferencial não homogênea:
Suponha que
e
.
Encontre a solução geral do sistema:
Esboçar as curvas seguintes, representando o sentido positivo de percurso. Obter uma parametrização da curva dada, orientada no sentido contrário.
e)
e)
Determinar a equação da reta tangente às seguintes curvas, nos pontos indicados.
a)
a)