Determinar a equação vetorial, as equações paramétricas, as equações simétricas e reduzidas na variável (caso existam!), que passa pelos pontos e nos seguintes casos:
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria analítica! A gente precisa encontrar diferentes formas de representar a equação de uma reta que passa pelos pontos e . Vamos usar conceitos como equação vetorial, equações paramétricas, simétricas e ver se dá pra fazer uma reduzida na variável . Para isso, vamos precisar saber como obter o vetor diretor da reta e como usar ele para montar essas equações.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor diretor da reta. O vetor diretor é aquele que indica a direção da reta e pode ser encontrado subtraindo as coordenadas de de . Então:
Esse vetor nos mostra que a reta está alinhada com o eixo .
Passo 3
Agora, vamos montar a **equação vetorial** da reta. A equação vetorial tem a forma:
Onde:
- é um ponto da reta (podemos usar )
- é o vetor diretor
- é um parâmetro real
Substituindo os valores:
Passo 4
Vamos agora para as **equações paramétricas**. Essas equações separam cada coordenada em função do parâmetro . A gente já tem a equação vetorial:
Então, as equações paramétricas da reta são:
Passo 5
Agora, vamos fazer as **equações simétricas** da reta. Essas equações relacionam as coordenadas , e sem o parâmetro . A forma geral é:
Usando o ponto e o vetor diretor :
No entanto, dividir por zero não é permitido, então as equações simétricas ficam apenas em termos de :
E sabemos que e .
Passo 6
Por último, vamos tentar escrever a **equação reduzida na variável **. Como a reta está alinhada com o eixo e as outras coordenadas são constantes (, ), a equação reduzida fica simplesmente:
Isso significa que para qualquer valor de , e permanecem zero, descrevendo a reta no eixo .
Resposta
- **Equação Vetorial:**
- **Equações Paramétricas:**
- **Equações Simétricas:** , com e
- **Equação Reduzida na variável :** e