Determinar a equação vetorial, as equações paramétricas, as equações simétricas e reduzidas na variável (caso existam!), que passa pelos pontos e nos seguintes casos: e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria analítica! A gente precisa encontrar diferentes formas de representar a equação de uma reta que passa pelos pontos e . Vamos usar conceitos como equação vetorial, equações paramétricas, simétricas e ver se dá pra fazer uma reduzida na variável . Para isso, vamos precisar saber como obter o vetor diretor da reta e como usar ele para montar essas equações.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor diretor da reta. O vetor diretor é aquele que indica a direção da reta e pode ser encontrado subtraindo as coordenadas de de . Então:
Esse vetor (2, 0, 0) nos mostra que a reta está alinhada com o eixo x.
Passo 3
Agora, vamos montar a equação vetorial da reta. A equação vetorial tem a forma:
r = r0 + t cdot d
Onde:
r0 é um ponto da reta (podemos usar A)
d é o vetor diretor
t é um parâmetro real
Substituindo os valores:
r = (0, 0, 0) + t cdot (2, 0, 0) r = (2t, 0, 0)
Passo 4
Vamos agora para as equações paramétricas. Essas equações separam cada coordenada em função do parâmetro t. A gente já tem a equação vetorial:
x = 2t y = 0 z = 0
Então, as equações paramétricas da reta são:
x = 2t y = 0 z = 0
Passo 5
Agora, vamos fazer as equações simétricas da reta. Essas equações relacionam as coordenadas x, y e z sem o parâmetro t. A forma geral é:
x - x0a = y - y0b = z - z0c
Usando o ponto A=(0,0,0) e o vetor diretor (2,0,0):
x2 = y0 = z0
No entanto, dividir por zero não é permitido, então as equações simétricas ficam apenas em termos de x:
x2 = t
E sabemos que y=0 e z=0.
Passo 6
Por último, vamos tentar escrever a equação reduzida na variável x. Como a reta está alinhada com o eixo x e as outras coordenadas são constantes (y=0, z=0), a equação reduzida fica simplesmente:
y = 0 e z = 0
Isso significa que para qualquer valor de x, y e z permanecem zero, descrevendo a reta no eixo x.