Determinar a equação vetorial, as equações paramétricas, as equações simétricas e reduzidas na variável x (caso existam!), que passa pelos pontos A e B nos seguintes casos:
A=(0,0,0) e B=(2,0,0)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria analítica! A gente precisa encontrar diferentes formas de representar a equação de uma reta que passa pelos pontos A=(0,0,0) e B=(2,0,0). Vamos usar conceitos como equação vetorial, equações paramétricas, simétricas e ver se dá pra fazer uma reduzida na variável x. Para isso, vamos precisar saber como obter o vetor diretor da reta e como usar ele para montar essas equações.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor diretor da reta. O vetor diretor é aquele que indica a direção da reta e pode ser encontrado subtraindo as coordenadas de A de B. Então:
AB = B - A = (2-0, 0-0, 0-0) = (2, 0, 0)
Esse vetor (2, 0, 0) nos mostra que a reta está alinhada com o eixo x.

Passo 3

Agora, vamos montar a equação vetorial da reta. A equação vetorial tem a forma:
r = r0 + t cdot d
Onde:
  • r0 é um ponto da reta (podemos usar A)
  • d é o vetor diretor
  • t é um parâmetro real
Substituindo os valores:
r = (0, 0, 0) + t cdot (2, 0, 0) r = (2t, 0, 0)

Passo 4

Vamos agora para as equações paramétricas. Essas equações separam cada coordenada em função do parâmetro t. A gente já tem a equação vetorial:
x = 2t y = 0 z = 0
Então, as equações paramétricas da reta são:
x = 2t y = 0 z = 0

Passo 5

Agora, vamos fazer as equações simétricas da reta. Essas equações relacionam as coordenadas x, y e z sem o parâmetro t. A forma geral é:
x - x0a = y - y0b = z - z0c
Usando o ponto A=(0,0,0) e o vetor diretor (2,0,0):
x2 = y0 = z0
No entanto, dividir por zero não é permitido, então as equações simétricas ficam apenas em termos de x:
x2 = t
E sabemos que y=0 e z=0.

Passo 6

Por último, vamos tentar escrever a equação reduzida na variável x. Como a reta está alinhada com o eixo x e as outras coordenadas são constantes ( y=0, z=0), a equação reduzida fica simplesmente:
y = 0 e z = 0
Isso significa que para qualquer valor de x, y e z permanecem zero, descrevendo a reta no eixo x.

Resposta

  • Equação Vetorial: r = (0, 0, 0) + t cdot (2, 0, 0)
  • Equações Paramétricas: x = 2t y = 0 z = 0
  • Equações Simétricas: x2 = t, com y = 0 e z = 0
  • Equação Reduzida na variável x: y = 0 e z = 0

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