Determine um ponto e um vetor diretor de cada uma das seguintes retas. Além disso, verifique se o ponto P1=(-1,0,2) pertence às retas.
l: x+12=y3=z-42.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que fala sobre retas no espaço. A gente precisa encontrar um ponto e um vetor diretor para a reta dada, e depois verificar se o ponto está nessa reta. Para isso, vamos usar a representação paramétrica das retas e entender o que são ponto e vetor diretor.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação da reta que foi dada:
l: x+12=y3=z-42
Essa é a forma simétrica da equação da reta. Nela, os denominadores (2, 3 e 2) são os componentes do vetor diretor da reta, e os termos constantes dentro dos parênteses nos dão um ponto que pertence à reta.

Passo 3

Vamos identificar o ponto e o vetor diretor a partir da equação da reta:
  • Ponto ( P = (-1, 0, 4) ): É o ponto que aparece nas expressões dentro dos parênteses. Então, olhando para v = (2, 3, 2) , vemos que quando . Para , não há constante, então . E para , temos . Assim, o ponto é:
  • Vetor Diretor ( ): É formado pelos denominadores das frações. Então, temos:

Passo 4

Agora, vamos verificar se o ponto -1 + 12 = 03 = 2 - 42 está na reta 02 = 0 = -22 Rightarrow 0 = 0 = -1 . Para isso, substituímos as coordenadas de na equação da reta e vemos se as igualdades se mantêm.
Substituindo , e na equação da reta:
Simplificando cada parte:
A última igualdade não é verdadeira, o que significa que o ponto não pertence à reta .

Resposta

  • Ponto da reta :
  • Vetor diretor da reta :
  • O ponto pertence à reta ? Não, ele não pertence à reta.

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