Determinar uma equação vetorial da reta r definida pelos pontos A = (2, −3,4) e B =
(1, −1,2) e verificar se os pontos C = ( 5 , −4, 5) e D = (−1,3,4) pertencem a r.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui a gente precisa trabalhar com equação vetorial de uma reta. O que a gente vai fazer é encontrar uma equação que descreva a reta que passa pelos pontos A e B, e depois verificar se os pontos C e D estão nessa reta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como encontrar a equação vetorial de uma reta. A equação vetorial de uma reta pode ser escrita assim:
r(t) = A + t cdot AB
Onde:
  • A é o ponto inicial da reta.
  • AB é o vetor diretor da reta, que dá a direção da reta.
  • t é um parâmetro real.

Passo 3

Vamos encontrar o vetor AB. Isso é feito subtraindo as coordenadas de A das coordenadas de B:
AB = B - A = (1 - 2,, -1 - (-3),, 2 - 4) = (-1,, 2,, -2)
Então, o vetor diretor AB é (-1, 2, -2).

Passo 4

Agora, podemos escrever a equação vetorial da reta r usando o ponto A e o vetor AB:
r(t) = (2,, -3,, 4) + t cdot (-1,, 2,, -2)
Isso significa que qualquer ponto na reta r pode ser obtido variando o valor de t.

Passo 5

Agora, vamos verificar se o ponto C = (5, -4, 5) está na reta r. Para isso, precisamos encontrar se existe um valor de t que satisfaça as seguintes equações:
2 - t = 5
-3 + 2t = -4
4 - 2t = 5
Resolvendo a primeira equação:
2 - t = 5 Rightarrow t = 2 - 5 Rightarrow t = -3
Vamos verificar se esse valor de t funciona nas outras equações:
Para a segunda equação:
-3 + 2(-3) = -3 - 6 = -9 neq -4
Como não dá certo, o ponto C não está na reta r.

Passo 6

Agora, vamos verificar se o ponto D = (-1, 3, 4) está na reta r. Novamente, procuramos um valor de t que satisfaça:
2 - t = -1
-3 + 2t = 3
4 - 2t = 4
Resolvendo a primeira equação:
2 - t = -1 Rightarrow t = 2 + 1 Rightarrow t = 3
Vamos verificar com esse t nas outras equações:
Para a segunda equação:
-3 + 2(3) = -3 + 6 = 3
E na terceira:
4 - 2(3) = 4 - 6 = -2 neq 4
Como a terceira equação não é satisfeita, o ponto D não está na reta r.

Resposta

A equação vetorial da reta r é:
r(t) = (2,, -3,, 4) + t cdot (-1,, 2,, -2)
Os pontos C = (5, -4, 5) e D = (-1, 3, 4) não pertencem à reta r.

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