Determinar uma equação vetorial da reta r definida pelos pontos A = (2, −3,4) e B =
(1, −1,2) e verificar se os pontos C = ( 5 , −4, 5) e D = (−1,3,4) pertencem a r.
(1, −1,2) e verificar se os pontos C = ( 5 , −4, 5) e D = (−1,3,4) pertencem a r.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui a gente precisa trabalhar com equação vetorial de uma reta. O que a gente vai fazer é encontrar uma equação que descreva a reta que passa pelos pontos A e B, e depois verificar se os pontos C e D estão nessa reta.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como encontrar a equação vetorial de uma reta. A equação vetorial de uma reta pode ser escrita assim:
Onde:
-
é o ponto inicial da reta. -
é o vetor diretor da reta, que dá a direção da reta. -
é um parâmetro real.
Passo 3
Vamos encontrar o vetor
. Isso é feito subtraindo as coordenadas de A das coordenadas de B:
Então, o vetor diretor
é
.
Passo 4
Agora, podemos escrever a equação vetorial da reta
usando o ponto A e o vetor
:
Isso significa que qualquer ponto na reta
pode ser obtido variando o valor de
.
Passo 5
Agora, vamos verificar se o ponto C = (5, -4, 5) está na reta
. Para isso, precisamos encontrar se existe um valor de
que satisfaça as seguintes equações:
Resolvendo a primeira equação:
Vamos verificar se esse valor de
funciona nas outras equações:
Para a segunda equação:
Como não dá certo, o ponto C não está na reta
.
Passo 6
Agora, vamos verificar se o ponto D = (-1, 3, 4) está na reta
. Novamente, procuramos um valor de
que satisfaça:
Resolvendo a primeira equação:
Vamos verificar com esse
nas outras equações:
Para a segunda equação:
E na terceira:
Como a terceira equação não é satisfeita, o ponto D não está na reta
.
Resposta
A equação vetorial da reta
é:
Os pontos C = (5, -4, 5) e D = (-1, 3, 4) não pertencem à reta
.