Escrever uma equação geral do plano pi que passa pelo ponto A(1,2,-2) e é paralelo ao plano pi1:3x-2y-4z+8=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação geral de um plano, chamado pi, que passa por um ponto específico A(1, 2, -2) e que é paralelo a outro plano já conhecido, o pi1: 3x - 2y - 4z + 8 = 0. Vamos usar conceitos de Geometria Analítica para isso.

Passo 2

Primeiro, é importante saber que quando dois planos são paralelos, eles têm o mesmo vetor normal. O vetor normal é dado pelos coeficientes de x, y e z na equação do plano. No caso do pi1, o vetor normal é (3, -2, -4).

Passo 3

Agora que sabemos o vetor normal, podemos usar a fórmula geral da equação de um plano:
a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0
Onde:
  • (x0, y0, z0) é o ponto pelo qual o plano passa.
  • a, b, c são os componentes do vetor normal.

Passo 4

Vamos substituir os valores que temos:
  • O ponto A é (1, 2, -2), então x0 = 1, y0 = 2, z0 = -2.
  • O vetor normal é (3, -2, -4), ou seja, a = 3, b = -2, c = -4.
Substituindo na fórmula:
3(x - 1) - 2(y - 2) - 4(z + 2) = 0

Passo 5

Vamos simplificar essa equação:
3x - 3 - 2y + 4 - 4z - 8 = 0
Agora, somando os termos constantes:
3x - 2y - 4z - 7 = 0

Resposta

A equação geral do plano pi é:
3x - 2y - 4z - 7 = 0

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