Utilize o produto misto para mostrar que os vetores u = (1, 4, -7), v = (2, -1, 4) e w = (0, -9, 18) são coplanares.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar o produto misto para mostrar que os vetores , e são coplanares. Coplanares significa que esses três vetores estão no mesmo plano. Para isso, vamos precisar calcular o produto misto desses vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o produto misto. O produto misto de três vetores , e é dado pelo determinante da matriz formada por esses vetores:
Se o produto misto for igual a zero ( ), significa que os vetores são coplanares.

Passo 3

Vamos montar a matriz com os vetores , e :
Agora, vamos calcular esse determinante. Utilizando a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores, escolho expandir pela primeira linha:

Passo 4

Calculando cada determinante menor:
Substituindo de volta:

Resposta

O produto misto dos vetores , e é zero, logo eles são coplanares.

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