Encontrar a equação geral, vetorial e paramétrica do plano nos seguintes casos: contem o ponto e é perpendicular ao vetor
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar três formas de representar um plano no espaço: a equação geral, a equação vetorial e as equações paramétricas. Para isso, vamos usar o ponto que está no plano e o vetor normal que é perpendicular ao plano.
Passo 2
Vamos começar encontrando a equação geral do plano. A equação geral de um plano é dada por:
onde é o vetor normal ao plano. Como sabemos que é perpendicular ao plano, podemos substituir esses valores na equação. Além disso, como o ponto está no plano, ele deve satisfazer a equação.
Passo 3
Substituindo os valores do vetor normal e as coordenadas de na equação geral:
Vamos simplificar isso para obter a forma geral:
Então, a equação geral do plano é:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a equação vetorial do plano. A equação vetorial é dada por:
onde é o vetor posição de um ponto no plano, e e são vetores diretores do plano.
Passo 5
Precisamos escolher dois vetores diretores que estejam no plano. Como é perpendicular ao plano, os vetores diretores devem ser perpendiculares a . Podemos escolher, por exemplo:
Esses vetores satisfazem e , garantindo que estão no plano.
Passo 6
Substituindo na equação vetorial:
Passo 7
Por fim, vamos determinar as equações paramétricas do plano. A partir da equação vetorial, podemos escrever cada coordenada em função dos parâmetros e :