Resolver os sistemas de equações lineares indicados.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra resolver um sistema de equações lineares com três variáveis: x + 5y + 9z = 180 9x + 10y + 5z = 41 10x + 9y + z = -50 , e . A matéria envolvida aqui são sistemas lineares, e vamos precisar usar métodos de resolução como eliminação ou substituição para encontrar os valores dessas incógnitas.
O sistema que vamos resolver é:
Passo 2
Primeiro, vamos tentar simplificar o sistema para facilitar a resolução. Vou escolher eliminar uma das variáveis. Vamos, por exemplo, eliminar 9(x + 5y + 9z) = 9 times 180 9x + 10y + 5z = 41 .
Para isso, podemos multiplicar a primeira equação por 9 e a segunda equação por 1 para facilitar a eliminação de 9x + 45y + 81z = 1620 :
(9x + 45y + 81z) - (9x + 10y + 5z) = 1620 - 41
Simplificando a primeira equação:
35y + 76z = 1579
Agora, subtraímos a segunda equação da equação modificada:
Que resulta em:
Passo 3
Agora, vamos eliminar 10(x + 5y + 9z) = 10 times 180 10x + 9y + z = -50 usando a primeira e a terceira equação. Vamos multiplicar a primeira equação por 10 e a terceira equação por 1:
10x + 50y + 90z = 1800
Simplificando a primeira equação:
(10x + 50y + 90z) - (10x + 9y + z) = 1800 - (-50)
Subtraindo a terceira equação da equação modificada:
41y + 89z = 1850
Isso nos dá:
Passo 4
Agora temos um sistema com duas equações e duas incógnitas:
35y + 76z = 1579 41y + 89z = 1850
Vamos resolver esse sistema para encontrar 35y times 41 + 76z times 41 = 1579 times 41 41y times 35 + 89z times 35 = 1850 times 35 e 1435y + 3116z = 64739 1435y + 3115z = 64750 . Para isso, podemos usar o método da eliminação. Vamos multiplicar a primeira equação por 41 e a segunda por 35 para igualar os coeficientes de (1435y + 3116z) - (1435y + 3115z) = 64739 - 64750 :
z = -11
Simplificando:
Agora, subtraímos a segunda equação da primeira:
Isso resulta em:
Passo 5
Com 35y + 76(-11) = 1579 , vamos substituir esse valor em uma das equações para encontrar 35y - 836 = 1579 . Vamos usar a primeira equação do sistema reduzido:
35y = 2415
Simplificando:
y = 69
Somando 836 em ambos os lados:
Dividindo por 35:
Passo 6
Agora que temos x + 5(69) + 9(-11) = 180 e x + 345 - 99 = 180 , vamos substituir esses valores na primeira equação original para encontrar x + 246 = 180 :