Determine três pontos distintos sobre o plano
, dois vetores diretores (não colineares) e um vetor normal a
, para
(b)
.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar três pontos diferentes que estão no plano definido pela equação
. Além disso, precisamos determinar dois vetores diretores que não sejam colineares e um vetor normal a esse plano. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como a definição de plano no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar três pontos distintos que pertencem ao plano
. Para achar esses pontos, podemos escolher valores arbitrários para duas das variáveis (x e y, por exemplo) e resolver para a terceira variável (z).
Ponto 1:
Vamos deixar e
.
Substituindo na equação do plano:
Vamos deixar
Substituindo na equação do plano:
Então, o primeiro ponto é
.
Ponto 2:
Vamos deixar e
.
Substituindo na equação do plano:
Vamos deixar
Substituindo na equação do plano:
Então, o segundo ponto é
.
Ponto 3:
Vamos deixar e
.
Substituindo na equação do plano:
Vamos deixar
Substituindo na equação do plano:
Então, o terceiro ponto é
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar dois vetores diretores para o plano. Vetores diretores são vetores que estão contidos no plano e são úteis para descrever a direção do plano no espaço. Para encontrar esses vetores, podemos usar os pontos que encontramos.
Vamos calcular os vetores
e
usando os pontos
e
:
Esses vetores não são múltiplos um do outro, ou seja, não são colineares, o que satisfaz a condição do exercício.
Passo 4
Por último, vamos determinar um vetor normal ao plano
. Um vetor normal é perpendicular a todos os vetores diretores do plano. A partir da equação geral do plano
, podemos identificar diretamente o vetor normal como
.
No nosso caso, a equação do plano é
, então:
Resposta
Três pontos distintos no plano
:
Dois vetores diretores não colineares:
Vetor normal ao plano
:
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Determine o cosseno do ângulo entre as seguintes retas
(a) e
(a)
Sabendo que
, determine
(d)
(d)
Determinar equações paramétricas e uma equação geral do plano que
© Passa pelo ponto e é perpendicular à reta
:
.
© Passa pelo ponto
Determinar a equação geral dos planos nos seguintes casos: (g) possui o ponto
e é paralelo ao plano
.