Determine três pontos distintos sobre o plano pi, dois vetores diretores (não colineares) e um vetor normal a pi, para
(b) pi: 4 x+y-3 z=3.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar três pontos diferentes que estão no plano definido pela equação . Além disso, precisamos determinar dois vetores diretores que não sejam colineares e um vetor normal a esse plano. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como a definição de plano no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar três pontos distintos que pertencem ao plano 4(0) + 0 - 3z = 3 implies -3z = 3 implies z = -1 . Para achar esses pontos, podemos escolher valores arbitrários para duas das variáveis (x e y, por exemplo) e resolver para a terceira variável (z).
Ponto 1:
Vamos deixar 4(1) + 0 - 3z = 3 implies 4 - 3z = 3 implies -3z = -1 implies z = 13 e 4(0) + 3 - 3z = 3 implies 3 - 3z = 3 implies -3z = 0 implies z = 0 .
Substituindo na equação do plano:
Então, o primeiro ponto é .
Ponto 2:
Vamos deixar e .
Substituindo na equação do plano:
Então, o segundo ponto é .
Ponto 3:
Vamos deixar e .
Substituindo na equação do plano:
Então, o terceiro ponto é .

Passo 3

Agora, vamos encontrar dois vetores diretores para o plano. Vetores diretores são vetores que estão contidos no plano e são úteis para descrever a direção do plano no espaço. Para encontrar esses vetores, podemos usar os pontos que encontramos.
Vamos calcular os vetores v1 = P2 - P1 = (1-0, 0-0, 13 - (-1)) = (1, 0, 43) e v2 = P3 - P1 = (0-0, 3-0, 0 - (-1)) = (0, 3, 1) usando os pontos e :
Esses vetores não são múltiplos um do outro, ou seja, não são colineares, o que satisfaz a condição do exercício.

Passo 4

Por último, vamos determinar um vetor normal ao plano n = (4, 1, -3) . Um vetor normal é perpendicular a todos os vetores diretores do plano. A partir da equação geral do plano , podemos identificar diretamente o vetor normal como .
No nosso caso, a equação do plano é , então:

Resposta

Três pontos distintos no plano P1(0, 0, -1), P2(1, 0, 13), P3(0, 3, 0) :
v1 = (1, 0, 43), v2 = (0, 3, 1)
Dois vetores diretores não colineares:
n = (4, 1, -3)
Vetor normal ao plano :

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