Determinar as equações paramétricas da reta que passa pela interseção das retas dadas e é ortogonal, simultaneamente, a elas
(b)
e
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente precisa encontrar as equações paramétricas de uma reta que:
Passa pela interseção das retas dadas.
É ortogonal (ou seja, perpendular) a essas duas retas.
Vamos usar conceitos de geometria analítica, como equações de retas no espaço e condições de ortogonalidade. Para resolver isso, vamos precisar:
Encontrar o ponto de interseção das duas retas.
Determinar o vetor diretor da reta que é ortogonal aos vetores diretores das retas dadas.
Montar as equações paramétricas da nova reta usando o ponto de interseção e o vetor diretor encontrado.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as retas dadas.
A reta está na forma simétrica:
Isso significa que o vetor diretor de é e um ponto por onde passa é .
A reta está definida pelo sistema:
Vamos resolver o sistema para encontrar o vetor diretor e um ponto de .
Passo 3
Resolvendo o sistema para y = -3y + 4 y + 3y = 4 4y = 4 y = 1 :
Da segunda equação:
x = z - 1
Então, x = t - 1 y = 1 z = t sempre.
Da primeira equação:
1 0 1
Podemos parametrizar como , então:
Isso mostra que o vetor diretor de é e um ponto por onde passa é .
Passo 4
Agora, precisamos encontrar o ponto de interseção das retas y - 14 = x - 22 = z + 7-2 e x - 22 = 0 Rightarrow x - 2 = 0 Rightarrow x = 2 z + 7-2 = 0 Rightarrow z + 7 = 0 Rightarrow z = -7 .
Como tem , vamos ver em quando .
Da reta :
Como , o numerador , então:
Então, o ponto de interseção é .
Passo 5
Agora, queremos uma reta que passa por e é ortogonal às retas e .
Para isso, o vetor diretor da nova reta deve ser ortogonal aos vetores diretores e . A maneira de encontrar esse vetor é calculando o produto vetorial entre e .