Determinar as equações paramétricas da reta que passa pela interseção das retas dadas e é ortogonal, simultaneamente, a elas
(b) r1: x-22=y-14=z+7-2
e r2:lx=z-1 y=-3 y+4

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente precisa encontrar as equações paramétricas de uma reta que:
  1. Passa pela interseção das retas dadas.
  2. É ortogonal (ou seja, perpendular) a essas duas retas.
Vamos usar conceitos de geometria analítica, como equações de retas no espaço e condições de ortogonalidade. Para resolver isso, vamos precisar:
  • Encontrar o ponto de interseção das duas retas.
  • Determinar o vetor diretor da reta que é ortogonal aos vetores diretores das retas dadas.
  • Montar as equações paramétricas da nova reta usando o ponto de interseção e o vetor diretor encontrado.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as retas dadas.
A reta x - 22 = y - 14 = z + 7-2 está na forma simétrica:
2 4 -2
Isso significa que o vetor diretor de x = z - 1 y = -3y + 4 é e um ponto por onde passa é .
A reta está definida pelo sistema:
Vamos resolver o sistema para encontrar o vetor diretor e um ponto de .

Passo 3

Resolvendo o sistema para y = -3y + 4 y + 3y = 4 4y = 4 y = 1 :
Da segunda equação:
x = z - 1
Então, x = t - 1 y = 1 z = t sempre.
Da primeira equação:
1 0 1
Podemos parametrizar como , então:
Isso mostra que o vetor diretor de é e um ponto por onde passa é .

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o ponto de interseção das retas y - 14 = x - 22 = z + 7-2 e x - 22 = 0 Rightarrow x - 2 = 0 Rightarrow x = 2 z + 7-2 = 0 Rightarrow z + 7 = 0 Rightarrow z = -7 .
Como tem , vamos ver em quando .
Da reta :
Como , o numerador , então:
Então, o ponto de interseção é .

Passo 5

Agora, queremos uma reta que passa por e é ortogonal às retas e .
Para isso, o vetor diretor da nova reta deve ser ortogonal aos vetores diretores e . A maneira de encontrar esse vetor é calculando o produto vetorial entre e .

Passo 6

Calculando o produto vetorial d1 = 2 4 -2 , d2 = 1 0 1 :
d1 times d2 = i & j & k 2 & 4 & -2 1 & 0 & 1 = i(4 cdot 1 - (-2) cdot 0) - j(2 cdot 1 - (-2) cdot 1) + k(2 cdot 0 - 4 cdot 1)
= i(4) - j(2 + 2) + k(-4) = 4 -4 -4
4 -4 -4
Então, o vetor diretor da nova reta é .

Passo 7

Agora que temos o ponto 4 -4 -4 e o vetor diretor x = x0 + at y = y0 + bt z = z0 + ct , podemos escrever as equações paramétricas da reta procurada.
As equações paramétricas são dadas por:
onde é o ponto inicial e são as componentes do vetor diretor.

Passo 8

Aplicando os valores:
x = 2 + 4t y = 1 - 4t z = -7 - 4t
Onde é o parâmetro.

Resposta

As equações paramétricas da reta são:
x = 2 + 4t y = 1 - 4t z = -7 - 4t
onde é um parâmetro real.

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