Determinar equações paramétricas e representar graficamente a reta que passa por:
(a) A(3,-2,4) e é paralela no eixo do x;
(b) A(2,2,4) e é perpendicular no plano xy;
© A(-2,3,4) e é ortogonal ao mesmo tempo aos eixos dos x e dos y;
(d) A(4,-1,3) e tem a direção de 3 i-2 2;
(e) A(3,-1,3) e B(3,3,4).

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar as equações paramétricas e representar graficamente retas no espaço tridimensional que passam por pontos específicos e obedecem certas condições. Para isso, precisamos entender conceitos de geometria analítica, como vetores diretores de retas e condições de paralelismo, perpendicularidade e ortogonalidade.

Passo 2

Enunciado: Determinar as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto x = x0 + at y = y0 + bt z = z0 + ct e é paralela ao eixo do x = 3 + t y = -2 + 0t Rightarrow y = -2 z = 4 + 0t Rightarrow z = 4 .
Teoria Aplicada: Uma reta paralela ao eixo tem sua direção alinhada com o vetor . As equações paramétricas de uma reta no espaço são dadas por:
onde é um ponto da reta e é o vetor diretor.
Aplicação:
Como a reta é paralela ao eixo , o vetor diretor é . O ponto dado é .
Equações Paramétricas:

Passo 3

Portanto, as equações paramétricas da reta são:
x = 3 + t y = -2 z = 4

Passo 4

Enunciado: Determinar as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto x = x0 + at y = y0 + bt z = z0 + ct e é perpendicular ao plano x = 2 + 0t Rightarrow x = 2 y = 2 + 0t Rightarrow y = 2 z = 4 + t .
Teoria Aplicada: Uma reta perpendicular ao plano terá um vetor diretor perpendicular a esse plano. O plano tem como vetor normal , então o vetor diretor da reta será paralelo a . As equações paramétricas são:
Aplicação:
O vetor diretor é . O ponto dado é .
Equações Paramétricas:

Passo 5

Enunciado: Determinar as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto x = -2 + 0t Rightarrow x = -2 y = 3 + 0t Rightarrow y = 3 z = 4 + t e é ortogonal aos eixos e .
Teoria Aplicada: Se uma reta é ortogonal aos eixos e , seu vetor diretor deve ser ortogonal a ambos os vetores e . Isso significa que o vetor diretor é paralelo ao eixo , ou seja, .
Aplicação:
O vetor diretor é . O ponto dado é .
Equações Paramétricas:

Passo 6

Enunciado: Determinar as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto x = x0 + at y = y0 + bt z = z0 + ct e tem a direção de x = 4 + 3t y = -1 - 2t z = 3 + 0t Rightarrow z = 3 .
Teoria Aplicada: O vetor diretor da reta é dado pela direção fornecida, ou seja, (já que não há componente ). As equações paramétricas são:
Aplicação:
O vetor diretor é . O ponto dado é .
Equações Paramétricas:

Passo 7

Enunciado: Determinar as equações paramétricas da reta que passa pelos pontos x = xA + (xB - xA)t y = yA + (yB - yA)t z = zA + (zB - zA)t e AB = (3 - 3, 3 - (-1), 4 - 3) = (0, 4, 1) .
Teoria Aplicada: Para uma reta que passa por dois pontos, o vetor diretor é dado pela diferença entre os pontos x = 3 + 0t Rightarrow x = 3 y = -1 + 4t z = 3 + t . As equações paramétricas são:
Aplicação:
Ponto e ponto .
Calculando o vetor diretor:
Equações Paramétricas:

Resposta

As equações paramétricas da reta são:
x = 3 y = -1 + 4t z = 3 + t

Fim

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