Determinar equações paramétricas e representar graficamente a reta que passa por:
(a) e é paralela no eixo do ;
(b) e é perpendicular no plano ;
© e é ortogonal ao mesmo tempo aos eixos dos e dos ;
(d) e tem a direção de ;
(e) e .

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar as equações paramétricas e representar graficamente retas no espaço tridimensional que passam por pontos específicos e obedecem certas condições. Para isso, precisamos entender conceitos de geometria analítica, como vetores diretores de retas e condições de paralelismo, perpendicularidade e ortogonalidade.

Passo 2

Enunciado: Determinar as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto e é paralela ao eixo do .
Teoria Aplicada: Uma reta paralela ao eixo tem sua direção alinhada com o vetor . As equações paramétricas de uma reta no espaço são dadas por:
onde é um ponto da reta e é o vetor diretor.
Aplicação:
Como a reta é paralela ao eixo , o vetor diretor é . O ponto dado é .
Equações Paramétricas:

Passo 3

Portanto, as equações paramétricas da reta são:

Passo 4

Enunciado: Determinar as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto e é perpendicular ao plano .
Teoria Aplicada: Uma reta perpendicular ao plano terá um vetor diretor perpendicular a esse plano. O plano tem como vetor normal , então o vetor diretor da reta será paralelo a . As equações paramétricas são:
Aplicação:
O vetor diretor é . O ponto dado é .
Equações Paramétricas:

Passo 5

Enunciado: Determinar as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto e é ortogonal aos eixos e .
Teoria Aplicada: Se uma reta é ortogonal aos eixos e , seu vetor diretor deve ser ortogonal a ambos os vetores e . Isso significa que o vetor diretor é paralelo ao eixo , ou seja, .
Aplicação:
O vetor diretor é . O ponto dado é .
Equações Paramétricas:

Passo 6

Enunciado: Determinar as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto e tem a direção de .
Teoria Aplicada: O vetor diretor da reta é dado pela direção fornecida, ou seja, (já que não há componente ). As equações paramétricas são:
Aplicação:
O vetor diretor é . O ponto dado é .
Equações Paramétricas:

Passo 7

Enunciado: Determinar as equações paramétricas da reta que passa pelos pontos e .
Teoria Aplicada: Para uma reta que passa por dois pontos, o vetor diretor é dado pela diferença entre os pontos . As equações paramétricas são:
Aplicação:
Ponto e ponto .
Calculando o vetor diretor:
Equações Paramétricas:

Resposta

As equações paramétricas da reta são:

Fim

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