Vamos resolver o exercício que pede para determinar as equações paramétricas e representar graficamente retas no espaço tridimensional que passam por pontos específicos e obedecem certas condições. Para isso, precisamos entender conceitos de geometria analítica, como vetores diretores de retas e condições de paralelismo, perpendicularidade e ortogonalidade.
Passo 2
Enunciado: Determinar as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto e é paralela ao eixo do .
Teoria Aplicada: Uma reta paralela ao eixo tem sua direção alinhada com o vetor . As equações paramétricas de uma reta no espaço são dadas por:
onde é um ponto da reta e é o vetor diretor.
Aplicação:
Como a reta é paralela ao eixo , o vetor diretor é . O ponto dado é .
Equações Paramétricas:
Passo 3
Portanto, as equações paramétricas da reta são:
x = 3 + t y = -2 z = 4
Passo 4
Enunciado: Determinar as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto x = x0 + at y = y0 + bt z = z0 + ct e é perpendicular ao plano x = 2 + 0t Rightarrow x = 2 y = 2 + 0t Rightarrow y = 2 z = 4 + t .
Teoria Aplicada: Uma reta perpendicular ao plano terá um vetor diretor perpendicular a esse plano. O plano tem como vetor normal , então o vetor diretor da reta será paralelo a . As equações paramétricas são:
Aplicação:
O vetor diretor é . O ponto dado é .
Equações Paramétricas:
Passo 5
Enunciado: Determinar as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto x = -2 + 0t Rightarrow x = -2 y = 3 + 0t Rightarrow y = 3 z = 4 + t e é ortogonal aos eixos e .
Teoria Aplicada: Se uma reta é ortogonal aos eixos e , seu vetor diretor deve ser ortogonal a ambos os vetores e . Isso significa que o vetor diretor é paralelo ao eixo , ou seja, .
Aplicação:
O vetor diretor é . O ponto dado é .
Equações Paramétricas:
Passo 6
Enunciado: Determinar as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto x = x0 + at y = y0 + bt z = z0 + ct e tem a direção de x = 4 + 3t y = -1 - 2t z = 3 + 0t Rightarrow z = 3 .
Teoria Aplicada: O vetor diretor da reta é dado pela direção fornecida, ou seja, (já que não há componente ). As equações paramétricas são:
Aplicação:
O vetor diretor é . O ponto dado é .
Equações Paramétricas:
Passo 7
Enunciado: Determinar as equações paramétricas da reta que passa pelos pontos x = xA + (xB - xA)t y = yA + (yB - yA)t z = zA + (zB - zA)t e AB = (3 - 3, 3 - (-1), 4 - 3) = (0, 4, 1) .
Teoria Aplicada: Para uma reta que passa por dois pontos, o vetor diretor é dado pela diferença entre os pontos x = 3 + 0t Rightarrow x = 3 y = -1 + 4t z = 3 + t . As equações paramétricas são: