Obtenha uma equação vetorial da reta paralela ao plano , concorrente com as retas e , que forma com elas ângulos congruentes.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a equação vetorial de uma reta que seja paralela ao plano , que passe pela interseção das retas e , e que forme ângulos iguais (congruentes) com essas duas retas. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como vetores diretores, planos, e condições de paralelismo e ângulos entre retas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que a reta que estamos procurando seja paralela ao plano . Uma reta é paralela a um plano se o vetor diretor da reta for perpendicular ao vetor normal do plano. O vetor normal do plano é dado pelos coeficientes de , e na equação do plano, ou seja, .
Então, se é o vetor diretor da nossa reta desconhecida, temos que:
Isso nos dará uma condição para determinar o vetor diretor da reta.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o ponto de interseção das retas e . Para isso, igualamos as equações paramétricas:
Isso nos dá o sistema de equações:
Resolvendo, vemos que não há solução real para esse sistema, o que significa que as retas r e s não se intersectam. Portanto, há algo errado ou precisamos interpretar “concorrente” de outra forma.
Passo 4
Como as retas r e s não se intersectam, vamos interpretar “concorrente” como uma reta que está no mesmo plano formado pelas duas retas ou que é semelhante a uma linha que de alguma forma relaciona as duas. Mas, para simplificar, vamos supor que a reta procurada seja tal que forma o mesmo ângulo com ambas as retas r e s.
Para isso, vamos usar a condição de que o ângulo theta entre dois vetores diretores d1 e d2 é dado por:
costheta = d1 cdot d2|d1| |d2|
Queremos que a reta desconhecida forme ângulos iguais com r e s, ou seja:
d cdot dr|d| |dr| = d cdot ds|d| |ds|
Onde dr = (1,1,0) e ds = (0,1,1) são os vetores diretores das retas r e s.
Passo 5
Vamos agora montar as equações com as condições que já temos. Sabemos que:
d cdot n = 0, onde n = (2, -1, -1).
d cdot dr|d| |dr| = d cdot ds|d| |ds|.
Vamos simplificar a segunda condição. Como |d| aparece em ambos os lados, podemos cancelar:
d cdot dr|dr| = d cdot ds|ds|
Agora, vamos calcular |dr| e |ds|:
|dr| = raiz1^2 + 1^2 + 0^2 = raiz2
|ds| = raiz0^2 + 1^2 + 1^2 = raiz2
Então, a condição se simplifica para:
d cdot dr = d cdot ds
Passo 6
Vamos chamar o vetor diretor da reta desconhecida de d = (a, b, c). Então, temos:
d cdot n = 2a - b - c = 0.
d cdot dr = a + b = d cdot ds = b + c.
Dessa forma, temos o sistema:
2a - b - c = 0 a + b = b + c
Simplificando a segunda equação, temos a = c.
Substituindo c = a na primeira equação:
2a - b - a = 0 Rightarrow a - b = 0 Rightarrow a = b
Então, temos a = b = c.
Passo 7
Portanto, o vetor diretor d da reta procurada é da forma (a, a, a), onde a neq 0. Podemos escolher a = 1 para simplificar, então d = (1, 1, 1).
Agora, precisamos de um ponto por onde a reta passe para completar a equação vetorial. Como as retas r e s não se intersectam, vamos escolher um ponto que seja paralelo ao plano pi.
Vamos escolher o ponto de interseção da reta r com o plano pi para garantir que nossa reta esteja no mesmo contexto.
Substituindo a equação de r na equação do plano pi: