Obtenha uma equação vetorial da reta paralela ao plano pi: 2 x-y-z+1=0, concorrente com as retas r: X=(1,0,0)+lambda(1,1,0) e s: X=(0,0,1)+lambda(0,1,1), que forma com elas ângulos congruentes.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a equação vetorial de uma reta que seja paralela ao plano pi: 2x - y - z +1=0, que passe pela interseção das retas r: X=(1,0,0)+lambda(1,1,0) e s: X=(0,0,1)+lambda(0,1,1), e que forme ângulos iguais (congruentes) com essas duas retas. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como vetores diretores, planos, e condições de paralelismo e ângulos entre retas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que a reta que estamos procurando seja paralela ao plano pi. Uma reta é paralela a um plano se o vetor diretor da reta for perpendicular ao vetor normal do plano. O vetor normal do plano pi é dado pelos coeficientes de x, y e z na equação do plano, ou seja, n = (2, -1, -1).
Então, se d é o vetor diretor da nossa reta desconhecida, temos que:
d cdot n = 0
Isso nos dará uma condição para determinar o vetor diretor da reta.

Passo 3

Agora, vamos encontrar o ponto de interseção das retas r e s. Para isso, igualamos as equações paramétricas:
(1,0,0) + lambda(1,1,0) = (0,0,1) + mu(0,1,1)
Isso nos dá o sistema de equações:
1 + lambda = 0 0 + lambda = 0 + mu 0 + 0 = 1 + mu
Resolvendo, vemos que não há solução real para esse sistema, o que significa que as retas r e s não se intersectam. Portanto, há algo errado ou precisamos interpretar “concorrente” de outra forma.

Passo 4

Como as retas r e s não se intersectam, vamos interpretar “concorrente” como uma reta que está no mesmo plano formado pelas duas retas ou que é semelhante a uma linha que de alguma forma relaciona as duas. Mas, para simplificar, vamos supor que a reta procurada seja tal que forma o mesmo ângulo com ambas as retas r e s.
Para isso, vamos usar a condição de que o ângulo theta entre dois vetores diretores d1 e d2 é dado por:
costheta = d1 cdot d2|d1| |d2|
Queremos que a reta desconhecida forme ângulos iguais com r e s, ou seja:
d cdot dr|d| |dr| = d cdot ds|d| |ds|
Onde dr = (1,1,0) e ds = (0,1,1) são os vetores diretores das retas r e s.

Passo 5

Vamos agora montar as equações com as condições que já temos. Sabemos que:
  1. d cdot n = 0, onde n = (2, -1, -1).
  2. d cdot dr|d| |dr| = d cdot ds|d| |ds|.
Vamos simplificar a segunda condição. Como |d| aparece em ambos os lados, podemos cancelar:
d cdot dr|dr| = d cdot ds|ds|
Agora, vamos calcular |dr| e |ds|:
|dr| = raiz1^2 + 1^2 + 0^2 = raiz2
|ds| = raiz0^2 + 1^2 + 1^2 = raiz2
Então, a condição se simplifica para:
d cdot dr = d cdot ds

Passo 6

Vamos chamar o vetor diretor da reta desconhecida de d = (a, b, c). Então, temos:
  1. d cdot n = 2a - b - c = 0.
  2. d cdot dr = a + b = d cdot ds = b + c.
Dessa forma, temos o sistema:
2a - b - c = 0 a + b = b + c
Simplificando a segunda equação, temos a = c.
Substituindo c = a na primeira equação:
2a - b - a = 0 Rightarrow a - b = 0 Rightarrow a = b
Então, temos a = b = c.

Passo 7

Portanto, o vetor diretor d da reta procurada é da forma (a, a, a), onde a neq 0. Podemos escolher a = 1 para simplificar, então d = (1, 1, 1).
Agora, precisamos de um ponto por onde a reta passe para completar a equação vetorial. Como as retas r e s não se intersectam, vamos escolher um ponto que seja paralelo ao plano pi.
Vamos escolher o ponto de interseção da reta r com o plano pi para garantir que nossa reta esteja no mesmo contexto.
Substituindo a equação de r na equação do plano pi:
2(1 + lambda) - (0 + lambda) - 0 + 1 = 0 2 + 2lambda - lambda + 1 = 0 3 + lambda = 0 Rightarrow lambda = -3
Então, o ponto de interseção é:
(1, 0, 0) + (-3)(1,1,0) = (1 - 3, 0 - 3, 0) = (-2, -3, 0)

Passo 8

Finalmente, temos o ponto P(-2, -3, 0) e o vetor diretor d = (1,1,1). Assim, a equação vetorial da reta procurada é:
X = (-2, -3, 0) + lambda (1, 1, 1), lambda in R

Resposta

A equação vetorial da reta desejada é:
X = (-2, -3, 0) + lambda (1, ,1, ,1), lambda in R

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