Obtenha uma equação vetorial da reta paralela ao plano , concorrente com as retas e , que forma com elas ângulos congruentes.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a equação vetorial de uma reta que seja paralela ao plano , que passe pela interseção das retas e , e que forme ângulos iguais (congruentes) com essas duas retas. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como vetores diretores, planos, e condições de paralelismo e ângulos entre retas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que a reta que estamos procurando seja paralela ao plano . Uma reta é paralela a um plano se o vetor diretor da reta for perpendicular ao vetor normal do plano. O vetor normal do plano é dado pelos coeficientes de , e na equação do plano, ou seja, .
Então, se é o vetor diretor da nossa reta desconhecida, temos que:
Isso nos dará uma condição para determinar o vetor diretor da reta.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o ponto de interseção das retas e . Para isso, igualamos as equações paramétricas:
Isso nos dá o sistema de equações:
Resolvendo, vemos que não há solução real para esse sistema, o que significa que as retas e não se intersectam. Portanto, há algo errado ou precisamos interpretar “concorrente” de outra forma.
Passo 4
Como as retas e não se intersectam, vamos interpretar “concorrente” como uma reta que está no mesmo plano formado pelas duas retas ou que é semelhante a uma linha que de alguma forma relaciona as duas. Mas, para simplificar, vamos supor que a reta procurada seja tal que forma o mesmo ângulo com ambas as retas e .
Para isso, vamos usar a condição de que o ângulo entre dois vetores diretores e é dado por:
Queremos que a reta desconhecida forme ângulos iguais com e , ou seja:
Onde e são os vetores diretores das retas e .
Passo 5
Vamos agora montar as equações com as condições que já temos. Sabemos que:
, onde .
.
Vamos simplificar a segunda condição. Como aparece em ambos os lados, podemos cancelar:
Agora, vamos calcular e :
Então, a condição se simplifica para:
Passo 6
Vamos chamar o vetor diretor da reta desconhecida de . Então, temos:
.
.
Dessa forma, temos o sistema:
Simplificando a segunda equação, temos .
Substituindo na primeira equação:
Então, temos .
Passo 7
Portanto, o vetor diretor da reta procurada é da forma , onde . Podemos escolher para simplificar, então .
Agora, precisamos de um ponto por onde a reta passe para completar a equação vetorial. Como as retas e não se intersectam, vamos escolher um ponto que seja paralelo ao plano .
Vamos escolher o ponto de interseção da reta com o plano para garantir que nossa reta esteja no mesmo contexto.
Substituindo a equação de na equação do plano :
Então, o ponto de interseção é:
Passo 8
Finalmente, temos o ponto e o vetor diretor . Assim, a equação vetorial da reta procurada é: