Obtenha uma equação vetorial da reta paralela ao plano , concorrente com as retas e , que forma com elas ângulos congruentes.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a equação vetorial de uma reta que seja paralela ao plano , que passe pela interseção das retas e , e que forme ângulos iguais (congruentes) com essas duas retas. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como vetores diretores, planos, e condições de paralelismo e ângulos entre retas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que a reta que estamos procurando seja paralela ao plano . Uma reta é paralela a um plano se o vetor diretor da reta for perpendicular ao vetor normal do plano. O vetor normal do plano é dado pelos coeficientes de , e na equação do plano, ou seja, .
Então, se é o vetor diretor da nossa reta desconhecida, temos que:
Isso nos dará uma condição para determinar o vetor diretor da reta.

Passo 3

Agora, vamos encontrar o ponto de interseção das retas e . Para isso, igualamos as equações paramétricas:
Isso nos dá o sistema de equações:
Resolvendo, vemos que não há solução real para esse sistema, o que significa que as retas e não se intersectam. Portanto, há algo errado ou precisamos interpretar “concorrente” de outra forma.

Passo 4

Como as retas e não se intersectam, vamos interpretar “concorrente” como uma reta que está no mesmo plano formado pelas duas retas ou que é semelhante a uma linha que de alguma forma relaciona as duas. Mas, para simplificar, vamos supor que a reta procurada seja tal que forma o mesmo ângulo com ambas as retas e .
Para isso, vamos usar a condição de que o ângulo entre dois vetores diretores e é dado por:
Queremos que a reta desconhecida forme ângulos iguais com e , ou seja:
Onde e são os vetores diretores das retas e .

Passo 5

Vamos agora montar as equações com as condições que já temos. Sabemos que:
  1. , onde .
  2. .
Vamos simplificar a segunda condição. Como aparece em ambos os lados, podemos cancelar:
Agora, vamos calcular e :
Então, a condição se simplifica para:

Passo 6

Vamos chamar o vetor diretor da reta desconhecida de . Então, temos:
  1. .
  2. .
Dessa forma, temos o sistema:
Simplificando a segunda equação, temos .
Substituindo na primeira equação:
Então, temos .

Passo 7

Portanto, o vetor diretor da reta procurada é da forma , onde . Podemos escolher para simplificar, então .
Agora, precisamos de um ponto por onde a reta passe para completar a equação vetorial. Como as retas e não se intersectam, vamos escolher um ponto que seja paralelo ao plano .
Vamos escolher o ponto de interseção da reta com o plano para garantir que nossa reta esteja no mesmo contexto.
Substituindo a equação de na equação do plano :
Então, o ponto de interseção é:

Passo 8

Finalmente, temos o ponto e o vetor diretor . Assim, a equação vetorial da reta procurada é:

Resposta

A equação vetorial da reta desejada é:

Exercícios relacionados

Encontrar equações paramétricas da reta de interseção dos planos e .
Discuta os seguintes sistemas:
Determinar equações paramétricas e representar graficamente a reta que passa por:
(a) e é paralela no eixo do ;
(b) e é perpendicular no plano ;
© e é ortogonal ao mesmo tempo aos eixos dos e dos ;
(d) e tem a direção de ;
(e) e .
Resolver os sistemas por escalonamento. Para sistemas com solução indeterminada, obter a resposta em forma paramétrica.