Resolver os sistemas por escalonamento. Para sistemas com solução indeterminada, obter a resposta em forma paramétrica.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de escalonamento, que é uma técnica da álgebra linear para encontrar as soluções de sistemas lineares. A gente tem três equações com três incógnitas: , e . Para resolver, vamos precisar organizar as equações de forma que fiquem mais fáceis de manipular, eliminando uma variável de cada vez até encontrar os valores das incógnitas.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de forma matricial para facilitar o escalonamento:
x + y + 2z = 6 (1) 2x - y + z = 3 (2) x + 3y - z = 3 (3)
Passo 3
Vamos começar eliminando a variável 2 times (1): 2x + 2y + 4z = 12 das equações (2) e (3). Para isso, podemos multiplicar a equação (1) por 2 e subtrair da equação (2):
(2) - [2 times (1)]: (2x - y + z) - (2x + 2y + 4z) = 3 - 12
Rightarrow -3y -3z = -9 (2')
Passo 4
Agora, vamos eliminar (3) - (1): (x + 3y - z) - (x + y + 2z) = 3 - 6 na equação (3) subtraindo a equação (1) dela:
Rightarrow 2y -3z = -3 (3')
Passo 5
Agora temos um sistema com duas equações e duas incógnitas:
-3y -3z = -9 (2') 2y -3z = -3 (3')
Vamos simplificar a equação (2’) dividindo todos os termos por -3:
y + z = 3 (2'')
Passo 6
Agora, temos:
y + z = 3 (2'') 2y -3z = -3 (3')
Vamos resolver a equação (2’’) para y = 3 - z :
Passo 7
Substituímos 2(3 - z) -3z = -3 na equação (3’):
6 -2z -3z = -3
6 -5z = -3
-5z = -9
z = 95 = 1,8
Passo 8
Agora que temos y = 3 - 1,8 = 1,2 , substituímos esse valor na equação :
Passo 9
Com x + y + 2z = 6 e x + 1,2 + 2(1,8) = 6 , vamos substituir esses valores na equação (1) para encontrar x + 1,2 + 3,6 = 6 :