Encontrar equações paramétricas da reta de interseção dos planos e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar as equações paramétricas da reta que resulta da interseção dos planos e . Isso faz parte da geometria analítica, onde trabalhamos com equações de planos e retas no espaço tridimensional. Para resolver, vamos precisar usar:
  • Sistemas de equações lineares
  • Conceito de interseção de planos
  • Representação paramétrica de retas

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a interseção de dois planos, se existir, é uma reta. Para encontrar as equações paramétricas dessa reta, precisamos resolver o sistema formado pelas duas equações dos planos. Vamos escrever as equações de forma mais simples:

Passo 3

Vamos resolver esse sistema de equações. Uma estratégia é somar as duas equações para eliminar uma das variáveis. Somando (1) e (2):
Simplificando:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 4:

Passo 4

Agora, temos a equação (3): . Podemos expressar uma das variáveis em função da outra. Vamos isolar :

Passo 5

Vamos usar a equação (4) e substituir na equação (2):
Simplificando:
Isolando :

Passo 6

Agora sabemos que e . Vamos escolher uma variável livre para parametrizar a reta. Normalmente, escolhemos , onde é um parâmetro real qualquer.
Então:
E, conforme a equação (4):

Passo 7

Com e , e já temos , podemos escrever as equações paramétricas da reta:

Resposta

As equações paramétricas da reta de interseção dos planos são:

Exercícios relacionados

Discuta os seguintes sistemas:
Obtenha uma equação geral do plano que contém a reta e é paralelo à reta .
Obtenha uma equação vetorial da reta paralela ao plano , concorrente com as retas e , que forma com elas ângulos congruentes.
Determinar equações paramétricas e representar graficamente a reta que passa por:
(a) e é paralela no eixo do ;
(b) e é perpendicular no plano ;
© e é ortogonal ao mesmo tempo aos eixos dos e dos ;
(d) e tem a direção de ;
(e) e .