Encontrar equações paramétricas da reta de interseção dos planos pi1: 3 x+y-3 z-5=0 e pi2: x-y-z-3=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar as equações paramétricas da reta que resulta da interseção dos planos pi1: 3x + y - 3z - 5 = 0 e pi2: x - y - z - 3 = 0. Isso faz parte da geometria analítica, onde trabalhamos com equações de planos e retas no espaço tridimensional. Para resolver, vamos precisar usar:
  • Sistemas de equações lineares
  • Conceito de interseção de planos
  • Representação paramétrica de retas

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a interseção de dois planos, se existir, é uma reta. Para encontrar as equações paramétricas dessa reta, precisamos resolver o sistema formado pelas duas equações dos planos. Vamos escrever as equações de forma mais simples:
3x + y - 3z = 5 (1) x - y - z = 3 (2)

Passo 3

Vamos resolver esse sistema de equações. Uma estratégia é somar as duas equações para eliminar uma das variáveis. Somando (1) e (2):
3x + y - 3z + x - y - z = 5 + 3
Simplificando:
4x - 4z = 8
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 4:
x - z = 2 (3)

Passo 4

Agora, temos a equação (3): x - z = 2. Podemos expressar uma das variáveis em função da outra. Vamos isolar x:
x = z + 2 (4)

Passo 5

Vamos usar a equação (4) e substituir x na equação (2):
(z + 2) - y - z = 3
Simplificando:
2 - y = 3
Isolando y:
-y = 1 Rightarrow y = -1 (5)

Passo 6

Agora sabemos que y = -1 e x = z + 2. Vamos escolher uma variável livre para parametrizar a reta. Normalmente, escolhemos z = t, onde t é um parâmetro real qualquer.
Então:
z = t
E, conforme a equação (4):
x = t + 2

Passo 7

Com z = t e x = t + 2, e já temos y = -1, podemos escrever as equações paramétricas da reta:
x = 2 + t y = -1 z = t

Resposta

As equações paramétricas da reta de interseção dos planos são:
x = 2 + t y = -1 z = t

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