Encontrar equações paramétricas da reta de interseção dos planos e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar as equações paramétricas da reta que resulta da interseção dos planos e . Isso faz parte da geometria analítica, onde trabalhamos com equações de planos e retas no espaço tridimensional. Para resolver, vamos precisar usar:
Sistemas de equações lineares
Conceito de interseção de planos
Representação paramétrica de retas
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a interseção de dois planos, se existir, é uma reta. Para encontrar as equações paramétricas dessa reta, precisamos resolver o sistema formado pelas duas equações dos planos. Vamos escrever as equações de forma mais simples:
Passo 3
Vamos resolver esse sistema de equações. Uma estratégia é somar as duas equações para eliminar uma das variáveis. Somando (1) e (2):
Simplificando:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 4:
Passo 4
Agora, temos a equação (3): . Podemos expressar uma das variáveis em função da outra. Vamos isolar :
Passo 5
Vamos usar a equação (4) e substituir na equação (2):
Simplificando:
Isolando :
Passo 6
Agora sabemos que e . Vamos escolher uma variável livre para parametrizar a reta. Normalmente, escolhemos , onde é um parâmetro real qualquer.
Então:
E, conforme a equação (4):
Passo 7
Com e , e já temos , podemos escrever as equações paramétricas da reta:
Resposta
As equações paramétricas da reta de interseção dos planos são: