Encontrar equações paramétricas da reta de interseção dos planos
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar as equações paramétricas da reta que resulta da interseção dos planos
e
. Isso faz parte da geometria analítica, onde trabalhamos com equações de planos e retas no espaço tridimensional. Para resolver, vamos precisar usar:
- Sistemas de equações lineares
- Conceito de interseção de planos
- Representação paramétrica de retas
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a interseção de dois planos, se existir, é uma reta. Para encontrar as equações paramétricas dessa reta, precisamos resolver o sistema formado pelas duas equações dos planos. Vamos escrever as equações de forma mais simples:
Passo 3
Vamos resolver esse sistema de equações. Uma estratégia é somar as duas equações para eliminar uma das variáveis. Somando (1) e (2):
Simplificando:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 4:
Passo 4
Agora, temos a equação (3):
. Podemos expressar uma das variáveis em função da outra. Vamos isolar
:
Passo 5
Vamos usar a equação (4) e substituir
na equação (2):
Simplificando:
Isolando
:
Passo 6
Agora sabemos que
e
. Vamos escolher uma variável livre para parametrizar a reta. Normalmente, escolhemos
, onde
é um parâmetro real qualquer.
Então:
E, conforme a equação (4):
Passo 7
Com
e
, e já temos
, podemos escrever as equações paramétricas da reta:
Resposta
As equações paramétricas da reta de interseção dos planos são: