Quais saio as equaçôes: da parábola, com foco
e vértice
, nos sitemas
e
e a equação de mudanção de coordenadas?
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão sobre parábolas! O enunciado diz que temos uma parábola com foco em
e vértice na origem
. Precisamos encontrar as equações dessa parábola nos sistemas de coordenadas
e
, além da equação que faz a mudança de coordenadas entre esses sistemas. Vamos precisar de conhecimentos sobre a definição de parábola, a fórmula geral da parábola e como fazer a mudança de coordenadas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma parábola. Uma parábola é o conjunto de pontos que estão equidistantes de um ponto fixo chamado foco e de uma reta chamada diretriz. A equação geral de uma parábola com vértice na origem pode variar dependendo da orientação da parábola.
Passo 3
Como o foco
não está alinhado de forma simples com os eixos, precisamos determinar a orientação da parábola. Para simplificar, vamos assumir que a parábola abre na direção do vetor que vai do vértice ao foco.
Passo 4
Calculamos a distância entre o vértice
e o foco
. Essa distância é
. Esse valor
é importante porque nos ajuda a definir a abertura da parábola.
Passo 5
Para escrever a equação da parábola no sistema
, precisamos usar a fórmula que relaciona a distância do ponto na parábola ao foco e à diretriz. No entanto, como a parábola está inclinada, é mais fácil aplicar uma rotação no sistema de coordenadas para alinhar a parábola com um dos eixos principais.
Passo 6
Vamos definir a inclinação
da parábola com relação ao eixo
. Como o foco está em
, o ângulo
pode ser encontrado usando a tangente:
, então
.
Passo 7
Com a rotação definida, a equação da parábola no sistema rotacionado
será mais simples, geralmente da forma
, onde o foco estará alinhado com o eixo
.
Passo 8
Agora, vamos encontrar a equação de mudança de coordenadas entre
e
. As equações de rotação são:
Onde
.
Passo 9
Substituindo
nas equações de rotação, temos:
Portanto, as equações ficam:
Passo 10
Finalmente, escrevemos a equação da parábola no sistema
:
Agora, temos as equações da parábola nos sistemas
e
, além da equação de mudança de coordenadas.
Resposta
A equação da parábola no sistema
é
, no sistema
é
e a equação de mudança de coordenadas é: