Quais saio as equaçôes: da parábola, com foco F=(3,4) e vértice V=O=(0,0), nos sitemas S=O, x, y e S^prime=V, x^prime, y^prime e a equação de mudanção de coordenadas?

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão sobre parábolas! O enunciado diz que temos uma parábola com foco em e vértice na origem . Precisamos encontrar as equações dessa parábola nos sistemas de coordenadas e , além da equação que faz a mudança de coordenadas entre esses sistemas. Vamos precisar de conhecimentos sobre a definição de parábola, a fórmula geral da parábola e como fazer a mudança de coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma parábola. Uma parábola é o conjunto de pontos que estão equidistantes de um ponto fixo chamado foco e de uma reta chamada diretriz. A equação geral de uma parábola com vértice na origem pode variar dependendo da orientação da parábola.

Passo 3

Como o foco não está alinhado de forma simples com os eixos, precisamos determinar a orientação da parábola. Para simplificar, vamos assumir que a parábola abre na direção do vetor que vai do vértice ao foco.

Passo 4

Calculamos a distância entre o vértice e o foco . Essa distância é . Esse valor é importante porque nos ajuda a definir a abertura da parábola.

Passo 5

Para escrever a equação da parábola no sistema , precisamos usar a fórmula que relaciona a distância do ponto na parábola ao foco e à diretriz. No entanto, como a parábola está inclinada, é mais fácil aplicar uma rotação no sistema de coordenadas para alinhar a parábola com um dos eixos principais.

Passo 6

Vamos definir a inclinação da parábola com relação ao eixo . Como o foco está em , o ângulo pode ser encontrado usando a tangente: , então .

Passo 7

Com a rotação definida, a equação da parábola no sistema rotacionado será mais simples, geralmente da forma , onde o foco estará alinhado com o eixo .

Passo 8

Agora, vamos encontrar a equação de mudança de coordenadas entre x' = x cos(theta) + y sin(theta) y' = -x sin(theta) + y cos(theta) e . As equações de rotação são:
Onde .

Passo 9

Substituindo cos(theta) = 35, sin(theta) = 45 nas equações de rotação, temos:
x' = 35x + 45y y' = -45x + 35y
Portanto, as equações ficam:

Passo 10

Finalmente, escrevemos a equação da parábola no sistema y'^2 = 4p x' Rightarrow y'^2 = 20 x' :
Agora, temos as equações da parábola nos sistemas e , além da equação de mudança de coordenadas.

Resposta

A equação da parábola no sistema x' = 35x + 45y y' = -45x + 35y é , no sistema é e a equação de mudança de coordenadas é:

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