Determine o cosseno do ângulo entre os seguintes planos
(b) pi1:lx=2 t y=1+2 s+2 t z=3-s+2 t
e pi2:lx=s-t y=2 t z=2+s

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o cosseno do ângulo entre dois planos. A matéria que vamos usar aqui é Geometria Analítica, especificamente sobre planos no espaço. Para resolver isso, precisamos encontrar os vetores normais de cada plano e depois calcular o cosseno do ângulo entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como encontrar o vetor normal de um plano a partir das equações paramétricas. Cada plano é definido por duas direções, dadas pelos parâmetros e . Podemos extrair dois vetores diretores a partir das equações e, em seguida, calcular o produto vetorial desses vetores para obter o vetor normal.

Passo 3

Vamos começar com o plano pi1: x = 2t y = 1 + 2s + 2t z = 3 - s + 2t :
v1 = 0 2 -1 e v2 = 2 2 2
Identificando os coeficientes de e , temos dois vetores diretores:

Passo 4

Calculamos o produto vetorial desses vetores para encontrar o vetor normal n1 = v1 times v2 = i & j & k 0 & 2 & -1 2 & 2 & 2 = (2 cdot 2 - (-1) cdot 2)i - (0 cdot 2 - (-1) cdot 2)j + (0 cdot 2 - 2 cdot 2)k = 6 2 -4 do plano :

Passo 5

Agora, vamos fazer o mesmo para o plano pi2: x = s - t y = 2t z = 2 + s :
v3 = 1 0 1 e v4 = -1 2 0
Os vetores diretores são:

Passo 6

Calculamos o produto vetorial desses vetores para encontrar o vetor normal n2 = v3 times v4 = i & j & k 1 & 0 & 1 -1 & 2 & 0 = (0 cdot 0 - 1 cdot 2)i - (1 cdot 0 - (-1) cdot 1)j + (1 cdot 2 - 0 cdot (-1))k = -2 -1 2 do plano :

Passo 7

Agora que temos os vetores normais 6 2 -4 e -2 -1 2 , podemos usar a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores:
cos(theta) = n1 cdot n2|n1| cdot |n2|
Onde é o produto escalar e e são as magnitudes dos vetores.

Passo 8

Calculando o produto escalar:
n1 cdot n2 = (6)(-2) + (2)(-1) + (-4)(2) = -12 -2 -8 = -22
Calculando as magnitudes:
|n1| = raiz6^2 + 2^2 + (-4)^2 = raiz36 + 4 + 16 = raiz56 = 2raiz14
|n2| = raiz(-2)^2 + (-1)^2 + 2^2 = raiz4 + 1 + 4 = raiz9 = 3

Passo 9

Agora, substituímos na fórmula do cosseno:
cos(theta) = -222raiz14 cdot 3 = -226raiz14 = -113raiz14 approx -0,617

Resposta

O cosseno do ângulo entre os dois planos é aproximadamente .

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