Determine o cosseno do ângulo entre os seguintes planos
(b) e pi2:lx=s-t y=2 t z=2+s
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o cosseno do ângulo entre dois planos. A matéria que vamos usar aqui é Geometria Analítica, especificamente sobre planos no espaço. Para resolver isso, precisamos encontrar os vetores normais de cada plano e depois calcular o cosseno do ângulo entre eles.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como encontrar o vetor normal de um plano a partir das equações paramétricas. Cada plano é definido por duas direções, dadas pelos parâmetros e . Podemos extrair dois vetores diretores a partir das equações e, em seguida, calcular o produto vetorial desses vetores para obter o vetor normal.
Passo 3
Vamos começar com o plano pi1: x = 2t y = 1 + 2s + 2t z = 3 - s + 2t :
v1 = 0 2 -1 e v2 = 2 2 2
Identificando os coeficientes de e , temos dois vetores diretores:
Passo 4
Calculamos o produto vetorial desses vetores para encontrar o vetor normal n1 = v1 times v2 = i & j & k 0 & 2 & -1 2 & 2 & 2 = (2 cdot 2 - (-1) cdot 2)i - (0 cdot 2 - (-1) cdot 2)j + (0 cdot 2 - 2 cdot 2)k = 6 2 -4 do plano :
Passo 5
Agora, vamos fazer o mesmo para o plano pi2: x = s - t y = 2t z = 2 + s :
v3 = 1 0 1 e v4 = -1 2 0
Os vetores diretores são:
Passo 6
Calculamos o produto vetorial desses vetores para encontrar o vetor normal n2 = v3 times v4 = i & j & k 1 & 0 & 1 -1 & 2 & 0 = (0 cdot 0 - 1 cdot 2)i - (1 cdot 0 - (-1) cdot 1)j + (1 cdot 2 - 0 cdot (-1))k = -2 -1 2 do plano :
Passo 7
Agora que temos os vetores normais 6 2 -4 e -2 -1 2 , podemos usar a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores:
cos(theta) = n1 cdot n2|n1| cdot |n2|
Onde é o produto escalar e e são as magnitudes dos vetores.