Determinar equações paramétricas das retas que passam por: e é perpendicular ao plano ;
c) e é ortogonal ao mesmo tempo aos eixos e dos ;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar as equações paramétricas de duas retas no espaço que passam por pontos específicos e têm certas orientações. Vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como vetores diretores e planos. Vamos resolver cada parte passo a passo.
Passo 2
Parte a)
Queremos encontrar a equação paramétrica da reta que passa pelo ponto e é perpendicular ao plano .
Primeiro, vamos entender o que significa ser perpendicular a um plano. Se uma reta é perpendicular a um plano, ela na verdade está alinhada com o vetor normal desse plano. O plano é aquele onde . O vetor normal a esse plano é , já que ele aponta na direção do eixo y.
Agora, sabendo o vetor diretor da reta () e o ponto por onde a reta passa (), podemos montar as equações paramétricas da reta usando a fórmula:
Onde é o ponto dado e são as componentes do vetor diretor.
Substituindo os valores:
Passo 3
Parte c)
Agora, vamos determinar a equação paramétrica da reta que passa pelo ponto x = x0 + a cdot t y = y0 + b cdot t z = z0 + c cdot t e é ortogonal aos eixos dos x e dos y ao mesmo tempo.
Ser ortogonal aos eixos dos x e dos y significa que a reta não está “esticada” nem nos eixos x nem nos y. Ou seja, a reta deve estar paralela ao eixo z. Assim, o vetor diretor da reta será x = -2 + 0 cdot t = -2 y = 3 + 0 cdot t = 3 z = 4 + 1 cdot t .
Usando a mesma fórmula das equações paramétricas:
Substituindo os valores:
Resposta
As equações paramétricas das retas são:
a) Reta perpendicular ao plano x = 2 y = 2 + t z = 4 :