(PUC-RJ)O valor de
, onde
é a unidade imaginária, é de:
B) 64
B) 64
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar o valor de
, onde
é a unidade imaginária. Vamos precisar usar conceitos de números complexos, como a forma polar e o Teorema de De Moivre.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever o número complexo
na forma polar. Para isso, precisamos encontrar o módulo e o argumento desse número.
Passo 3
O módulo de um número complexo
é dado por
. Aqui,
e
, então:
Passo 4
Agora, vamos encontrar o argumento, que é o ângulo que o número forma com o eixo real. Podemos usar a tangente:
Mas, para que o ângulo esteja entre
e
, adicionamos
:
Passo 5
Com o módulo e o argumento, a forma polar de
é:
Passo 6
Para elevar esse número à 12ª potência, usamos o Teorema de De Moivre, que diz:
Aplicando ao nosso caso:
Passo 7
Calculando cada parte:
E:
Como os ângulos se repetem a cada
, podemos simplificar:
Passo 8
Substituindo de volta:
Resposta
O valor de
é
.