(PUC-RJ)O valor de (1-i)^12, onde i é a unidade imaginária, é de:
B) 64

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar o valor de (1 - i)^12, onde i é a unidade imaginária. Vamos precisar usar conceitos de números complexos, como a forma polar e o Teorema de De Moivre.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o número complexo 1 - i na forma polar. Para isso, precisamos encontrar o módulo e o argumento desse número.

Passo 3

O módulo de um número complexo a + b,i é dado por raiza^2 + b^2. Aqui, a = 1 e b = -1, então:
raiz1^2 + (-1)^2 = raiz1 + 1 = raiz2

Passo 4

Agora, vamos encontrar o argumento, que é o ângulo que o número forma com o eixo real. Podemos usar a tangente:
theta = arctan(ba) = arctan(-11) = -pi4
Mas, para que o ângulo esteja entre 0 e 2pi, adicionamos 2pi:
theta = 7pi4

Passo 5

Com o módulo e o argumento, a forma polar de 1 - i é:
raiz2(cos(7pi4) + i,sin(7pi4))

Passo 6

Para elevar esse número à 12ª potência, usamos o Teorema de De Moivre, que diz:
[r(costheta + i,sintheta)]^n = r^n(cos(ntheta) + i,sin(ntheta))
Aplicando ao nosso caso:
(raiz2)^12(cos(12 times 7pi4) + i,sin(12 times 7pi4))

Passo 7

Calculando cada parte:
(raiz2)^12 = (2)^6 = 64
E:
12 times 7pi4 = 21pi
Como os ângulos se repetem a cada 2pi, podemos simplificar:
21pi = 10 times 2pi + pi Rightarrow cos(21pi) = cos(pi) = -1
sin(21pi) = sin(pi) = 0

Passo 8

Substituindo de volta:
64 (-1 + i,0) = -64

Resposta

O valor de (1 - i)^12 é -64.

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