(2,0 pontos) Determine o(s) valor(es) de m in R tais que o sistema de equações lineares
rrrr x-y+(m^2-7) z & = & m+3 x+ & 3 x-y+ & 2 z & = & 6
Não tenha solução.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de equações lineares e precisa descobrir para quais valores de ele não tem solução. Isso envolve áreas de álgebra, especificamente o estudo de sistemas de equações. Vamos precisar usar conceitos de consistência de sistemas e manipulação algébrica para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as equações do sistema. Pelo enunciado, temos:
x - y + (m^2 - 7)z = m + 3 x - y + 2z = 6
Queremos descobrir quando esse sistema não tem nenhuma solução.

Passo 3

Para ver quando o sistema não tem solução, vamos tentar eliminar uma das variáveis. Vamos subtrair a segunda equação da primeira:
(x - y + (m^2 - 7)z) - (x - y + 2z) = (m + 3) - 6
Simplificando isso:
(m^2 - 7 - 2)z = m - 3
Ou seja:
(m^2 - 9)z = m - 3

Passo 4

Agora, vamos analisar essa equação resultante. Se o coeficiente de z = m - 3m^2 - 9 for diferente de zero, podemos resolver para m^2 - 9 = 0 implies m^2 = 9 implies m = 3 ou m = -3 :
Mas se , o coeficiente de é zero. Vamos ver quando isso acontece:
Para que o sistema não tenha solução, precisamos que a equação resultante seja algo impossível, como onde a constante não é zero. Vamos testar os valores de :
  • Para :
    Substituindo na equação , que é verdadeira para qualquer . Isso significa que o sistema tem infinitas soluções, ou seja, é consistente.
  • Para :
    Substituindo, temos , o que é impossível. Portanto, o sistema não tem solução quando .

Resposta

O sistema não tem solução quando .

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