Determinar as equações da reta que passa pelo ponto A=(4,0,-3) e tem a direção do vetor u= (2,4,5).
Resposta: Eq. Simétrica: x-42=y4=z+35

Passo 1

Vamos resolver um exercício de geometria analítica, especificamente sobre equações de retas no espaço tridimensional. Precisamos encontrar as equações da reta que passa pelo ponto e tem a direção do vetor . Para isso, vamos utilizar as equações paramétricas e simétricas da reta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que uma reta no espaço pode ser descrita por um ponto por onde passa e por um vetor diretor que indica sua direção. Aqui, o ponto é e o vetor diretor é .

Passo 3

As equações paramétricas de uma reta são expressas em termos de um parâmetro, geralmente x = x0 + at y = y0 + bt z = z0 + ct , e mostram como cada coordenada ( ) varia com . A fórmula geral é:
Onde é o ponto pela qual a reta passa e são as componentes do vetor diretor.

Passo 4

Aplicando os valores do ponto x = 4 + 2t y = 0 + 4t z = -3 + 5t e do vetor , temos:
Essas são as equações paramétricas da reta.

Passo 5

Podemos também escrever as equações simétricas da reta, que eliminam o parâmetro x - x0a = y - y0b = z - z0c . A forma geral das equações simétricas é:
x - 42 = y - 04 = z + 35
Substituindo os valores, ficamos com:

Resposta

Eq. Simétrica:

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