Determinar, para o estado de tensões indicado: a) os planos principais; b) as tensões principais; c) os planos de máxima tensão de cisalhamento; d) a máxima tensão de cisalhamento; e) as tensões normais atuantes nos planos de máxima tensão de cisalhamento.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para determinar várias características de um estado de tensões específico. Estamos lidando com Mecânica dos Sólidos, mais precisamente com análise de tensões. Para resolver, vamos precisar entender conceitos como planos principais, tensões principais, tensão de cisalhamento máxima e as relações entre elas. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são planos principais. Em um estado de tensão, esses são os planos onde as tensões de cisalhamento são zero, ou seja, somente tensões normais atuam. Para encontrar esses planos, usamos as equações de equilíbrio e resolvemos a equação característica derivada do tensor de tensão.

Passo 3

As tensões principais são as tensões normais que atuam nos planos principais. Elas são obtidas resolvendo a equação característica do tensor de tensão, que geralmente resulta em um polinômio de segundo grau. As raízes desse polinômio nos dão as tensões principais, expressas como:
sigma1,2 = sigmax + sigmay2 pm raiz(sigmax - sigmay2)^2 + tauxy^2
onde e são as tensões normais e é a tensão de cisalhamento.

Passo 4

Agora, vamos para os planos de máxima tensão de cisalhamento. Esses são os planos onde a tensão de cisalhamento é máxima. A direção desses planos está a theta = 12 tan^-1(2tauxysigmax - sigmay) dos planos principais. A orientação pode ser encontrada usando:
Essa equação nos dá o ângulo onde a tensão de cisalhamento atinge seu valor máximo.

Passo 5

A máxima tensão de cisalhamento ( taumax = |sigma1 - sigma2|2 ) pode ser calculada usando a diferença entre as tensões principais:
Essa é a maior tensão de cisalhamento que ocorre no material sob o estado de tensão dado.

Passo 6

Por fim, vamos determinar as tensões normais atuantes nos planos de máxima tensão de cisalhamento. Nos planos onde a tensão de cisalhamento é máxima, as tensões normais podem ser calculadas pela média das tensões principais:
sigman = sigma1 + sigma22
Essa é a tensão normal que age nesses planos específicos.

Resposta

Seguindo os passos acima, determinamos que:
a) Planos principais são os planos onde as tensões de cisalhamento são zero.
b) Tensões principais são e .
c) Planos de máxima tensão de cisalhamento estão orientados a um ângulo .
d) Máxima tensão de cisalhamento é .
e) Tensões normais atuantes nos planos de máxima tensão de cisalhamento são .

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