Resolva o problema da menor distância entre dois pontos, sobre um plano, mas usando coordenadas polares
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Passo 1
Vamos resolver o problema de encontrar a menor distância entre dois pontos em um plano usando coordenadas polares. Para isso, vamos usar a métrica das coordenadas polares, que é dada por:
Vamos precisar entender como calcular distâncias em coordenadas polares e aplicar o cálculo para encontrar o caminho mais curto entre os dois pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas polares, qualquer ponto no plano é descrito por dois valores: a distância
do ponto à origem e o ângulo
que a linha que une o ponto à origem faz com o eixo positivo
.
Passo 3
Para encontrar a menor distância entre dois pontos, precisamos calcular o comprimento de uma curva que conecta esses pontos. O comprimento de uma curva em coordenadas polares é dado por:
Passo 4
A menor distância entre dois pontos no plano é uma linha reta. Em coordenadas polares, uma linha reta que passa pela origem é descrita por
. No entanto, se a linha reta não passa pela origem, precisamos parametrizar a linha de forma adequada.
Passo 5
Vamos considerar dois pontos
e
. Para encontrar a linha reta que conecta esses dois pontos, podemos usar a relação entre
e
para uma reta:
Passo 6
Agora, substituímos essa expressão de
na fórmula do comprimento da curva:
Calculando essa integral, encontramos a menor distância entre os dois pontos.
Resposta
A menor distância entre os dois pontos é a linha reta que os conecta, cujo comprimento pode ser calculado usando a integral: