Resolva o problema da menor distância entre dois pontos, sobre um plano, mas usando coordenadas polares (d s^2=d r^2+r^2 d theta^2 )

Passo 1

Vamos resolver o problema de encontrar a menor distância entre dois pontos em um plano usando coordenadas polares. Para isso, vamos usar a métrica das coordenadas polares, que é dada por:
ds^2 = dr^2 + r^2 dtheta^2
Vamos precisar entender como calcular distâncias em coordenadas polares e aplicar o cálculo para encontrar o caminho mais curto entre os dois pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas polares, qualquer ponto no plano é descrito por dois valores: a distância do ponto à origem e o ângulo que a linha que une o ponto à origem faz com o eixo positivo .

Passo 3

Para encontrar a menor distância entre dois pontos, precisamos calcular o comprimento de uma curva que conecta esses pontos. O comprimento de uma curva em coordenadas polares é dado por:
L = integral raiz ( drdtheta )^2 + r^2 , dtheta

Passo 4

A menor distância entre dois pontos no plano é uma linha reta. Em coordenadas polares, uma linha reta que passa pela origem é descrita por . No entanto, se a linha reta não passa pela origem, precisamos parametrizar a linha de forma adequada.

Passo 5

Vamos considerar dois pontos theta = theta1 + theta2 - theta1r2 - r1 (r - r1) e . Para encontrar a linha reta que conecta esses dois pontos, podemos usar a relação entre e para uma reta:

Passo 6

Agora, substituímos essa expressão de L = integraltheta1^theta2 raiz ( drdtheta )^2 + r^2 , dtheta na fórmula do comprimento da curva:
Calculando essa integral, encontramos a menor distância entre os dois pontos.

Resposta

A menor distância entre os dois pontos é a linha reta que os conecta, cujo comprimento pode ser calculado usando a integral:
L = integraltheta1^theta2 raiz ( drdtheta )^2 + r^2 , dtheta

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