Resolva o problema da menor distância entre dois pontos, sobre um plano, mas usando coordenadas polares
)
Passo 1
Vamos resolver o problema de encontrar a menor distância entre dois pontos em um plano usando coordenadas polares. Para isso, vamos usar a métrica das coordenadas polares, que é dada por:
Vamos precisar entender como calcular distâncias em coordenadas polares e aplicar o cálculo para encontrar o caminho mais curto entre os dois pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas polares, qualquer ponto no plano é descrito por dois valores: a distância
do ponto à origem e o ângulo
que a linha que une o ponto à origem faz com o eixo positivo
.
Passo 3
Para encontrar a menor distância entre dois pontos, precisamos calcular o comprimento de uma curva que conecta esses pontos. O comprimento de uma curva em coordenadas polares é dado por:
Passo 4
A menor distância entre dois pontos no plano é uma linha reta. Em coordenadas polares, uma linha reta que passa pela origem é descrita por
. No entanto, se a linha reta não passa pela origem, precisamos parametrizar a linha de forma adequada.
Passo 5
Vamos considerar dois pontos
e
. Para encontrar a linha reta que conecta esses dois pontos, podemos usar a relação entre
e
para uma reta:
Passo 6
Agora, substituímos essa expressão de
na fórmula do comprimento da curva:
Calculando essa integral, encontramos a menor distância entre os dois pontos.
Resposta
A menor distância entre os dois pontos é a linha reta que os conecta, cujo comprimento pode ser calculado usando a integral:
Exercícios relacionados
Determinar o máximo momento que pode ser resistido por um eixo circular vazado, tendo um diâmetro interno de
e um diâmetro externo de
, sem exceder a tensão normal de
T ou a tensão tangencial de
.
O tubo
tem diâmetro externo de
espessura de parede de
; é feito de latão com tensão admissível ao cisalhamento de
. A haste
tem diâmetro
e é feita de aço com tensão admissível ao cisalhamento de
. Determinar o maior valor de momento torçor que pode ser aplicado ao conjunto.
Determinar, para o estado de tensões indicado: a) os planos principais; b) as tensões principais; c) os planos de máxima tensão de cisalhamento; d) a máxima tensão de cisalhamento; e) as tensões normais atuantes nos planos de máxima tensão de cisalhamento.
Sob condições normais de funcionamento, o motor elétrico produz o torque de
.m. Sabendo-se que todos os eixos são maciços, determinar a máxima tensão de cisalhamento:
a) No eixo ;
b) No eixo .
a) No eixo
b) No eixo