Determinar o máximo momento que pode ser resistido por um eixo circular vazado, tendo um diâmetro interno de 25 mm e um diâmetro externo de 50 mm, sem exceder a tensão normal de 70 MPa T ou a tensão tangencial de 75 MPa.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é descobrir qual é o maior momento que um eixo circular vazado pode aguentar sem que a tensão normal ultrapasse 70 MPa ou a tensão tangencial passe de 75 MPa. A matéria envolvida aqui é Resistência dos Materiais, especificamente o cálculo de tensões em seções circulares. Para resolver isso, vamos precisar das fórmulas para tensão normal em flexão e tensão tangencial em torção, além das propriedades geométricas do eixo, como diâmetro interno e externo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as propriedades geométricas do eixo. Como o eixo é circular vazado, temos tanto um diâmetro interno ( Di) quanto um externo ( Do).
Dados:
  • Diâmetro interno, Di = 25, mm
  • Diâmetro externo, Do = 50, mm
Vamos converter esses diâmetros em raios:
Ri = Di2 = 25, mm2 = 12,5, mm
Ro = Do2 = 50, mm2 = 25, mm

Passo 3

Agora, vamos calcular o momento de inércia da seção transversal do eixo. Para um eixo circular vazado, o momento de inércia ( I) é dado por:
I = pi4 (Ro^4 - Ri^4)
Vamos substituir os valores:
I = pi4 ((25)^4 - (12,5)^4), mm^4
Calculando:
I = pi4 (390625 - 24414.0625), mm^4
I = pi4 times 366210.9375, mm^4
I approx 287430, mm^4

Passo 4

Agora, vamos calcular o raio médio ( Rm), que é usado no cálculo da tensão tangencial devido à torção. O raio médio é:
Rm = Ro + Ri2 = 25 + 12,52 = 18,75, mm

Passo 5

Primeiro, vamos calcular o momento máximo devido à flexão que não exceda a tensão normal máxima de 70 MPa. A relação entre tensão normal ( sigma), momento ( M) e momento de inércia ( I) é:
sigma = M cdot cI
Onde c é a distância do centro até a fibra mais externa, que nesse caso é Ro = 25, mm. Rearranjando para encontrar M:
M = sigma cdot Ic
Substituindo os valores:
M = 70 times 10^6, Pa times 287430 times 10^-12, m^40,025, m
M = 70 times 287430 times 10^-60,025, Nm
M approx 806, Nm

Passo 6

Agora, vamos calcular o torque máximo que o eixo pode resistir sem exceder a tensão tangencial de 75 MPa. A relação entre tensão tangencial ( tau), torque ( T) e momento polar de inércia ( J) é:
tau = T cdot RmJ
Para um eixo circular vazado, o momento polar de inércia ( J) é igual ao momento de inércia da área circular:
J = I = 287430, mm^4
Rearranjando para T:
T = tau cdot JRm
Substituindo os valores:
T = 75 times 10^6, Pa times 287430 times 10^-12, m^40,01875, m
T = 75 times 287430 times 10^-60,01875, Nm
T approx 1.152, Nm

Resposta

O máximo momento que o eixo circular vazado pode resistir sem exceder a tensão normal de 70 MPa ou a tensão tangencial de 75 MPa é de aproximadamente 806 N.m para a flexão e 1.152 N.m para a torção. Portanto, o momento máximo permitido é 806 N.m, já que é o menor valor que garante que nem a tensão normal nem a tangencial sejam ultrapassadas.

Exercícios relacionados