Determinar o máximo momento que pode ser resistido por um eixo circular vazado, tendo um diâmetro interno de e um diâmetro externo de , sem exceder a tensão normal de T ou a tensão tangencial de .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é descobrir qual é o maior momento que um eixo circular vazado pode aguentar sem que a tensão normal ultrapasse 70 MPa ou a tensão tangencial passe de 75 MPa. A matéria envolvida aqui é Resistência dos Materiais, especificamente o cálculo de tensões em seções circulares. Para resolver isso, vamos precisar das fórmulas para tensão normal em flexão e tensão tangencial em torção, além das propriedades geométricas do eixo, como diâmetro interno e externo.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as propriedades geométricas do eixo. Como o eixo é circular vazado, temos tanto um diâmetro interno () quanto um externo ().
Dados:
Diâmetro interno,
Diâmetro externo,
Vamos converter esses diâmetros em raios:
Passo 3
Agora, vamos calcular o momento de inércia da seção transversal do eixo. Para um eixo circular vazado, o momento de inércia () é dado por:
Vamos substituir os valores:
Calculando:
Passo 4
Agora, vamos calcular o raio médio (), que é usado no cálculo da tensão tangencial devido à torção. O raio médio é:
Passo 5
Primeiro, vamos calcular o momento máximo devido à flexão que não exceda a tensão normal máxima de 70 MPa. A relação entre tensão normal (), momento () e momento de inércia () é:
Onde é a distância do centro até a fibra mais externa, que nesse caso é . Rearranjando para encontrar :
Substituindo os valores:
Passo 6
Agora, vamos calcular o torque máximo que o eixo pode resistir sem exceder a tensão tangencial de 75 MPa. A relação entre tensão tangencial (), torque () e momento polar de inércia () é:
Para um eixo circular vazado, o momento polar de inércia () é igual ao momento de inércia da área circular:
Rearranjando para :
Substituindo os valores:
Resposta
O máximo momento que o eixo circular vazado pode resistir sem exceder a tensão normal de 70 MPa ou a tensão tangencial de 75 MPa é de aproximadamente 806 N.m para a flexão e 1.152 N.m para a torção. Portanto, o momento máximo permitido é 806 N.m, já que é o menor valor que garante que nem a tensão normal nem a tangencial sejam ultrapassadas.