Usando o método de substituição trigonométrica calcule as seguintes integrais;

Passo 1

Vamos resolver a integral usando o método de substituição trigonométrica. Esse método é útil quando temos expressões envolvendo raízes quadradas de polinômios quadráticos, como . Para isso, vamos precisar conhecer algumas identidades trigonométricas e como fazer a substituição adequada.

Passo 2

Primeiro, identifique a parte da integral que se encaixa na forma . No nosso caso, , então temos . Vamos fazer uma substituição trigonométrica onde . Portanto, vamos definir:

Passo 3

Com essa substituição, precisamos também substituir . Derivando em relação a :

Passo 4

Agora, substituímos e na integral original:
Vamos simplificar isso passo a passo.

Passo 5

Simplificando a expressão dentro da raiz:
Então, a raiz fica:

Passo 6

Substituindo de volta na integral:

Passo 7

Simplificando mais:
Sabemos que , então:
Portanto:

Passo 8

Agora, fazemos uma substituição interna para facilitar a integração. Vamos definir:
Substituindo:
Voltando para :

Passo 9

Agora, precisamos voltar para a variável original . Sabemos que:
E também:
Portanto:

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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