Usando o método de substituição trigonométrica calcule as seguintes integrais;
Passo 1
Vamos resolver a integral
usando o método de substituição trigonométrica. Esse método é útil quando temos expressões envolvendo raízes quadradas de polinômios quadráticos, como
. Para isso, vamos precisar conhecer algumas identidades trigonométricas e como fazer a substituição adequada.
Passo 2
Primeiro, identifique a parte da integral que se encaixa na forma
. No nosso caso,
, então temos
. Vamos fazer uma substituição trigonométrica onde
. Portanto, vamos definir:
Passo 3
Com essa substituição, precisamos também substituir
. Derivando
em relação a
:
Passo 4
Agora, substituímos
e
na integral original:
Vamos simplificar isso passo a passo.
Passo 5
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Então, a raiz fica:
Passo 6
Substituindo de volta na integral:
Passo 7
Simplificando mais:
Sabemos que
, então:
Portanto:
Passo 8
Agora, fazemos uma substituição interna para facilitar a integração. Vamos definir:
Substituindo:
Voltando para
:
Passo 9
Agora, precisamos voltar para a variável original
. Sabemos que:
E também:
Portanto:
Resposta
A integral
é igual a
, onde
é a constante de integração.