Usando o método de substituição trigonométrica calcule as seguintes integrais; integral raizx^2-4 d xx^4

Passo 1

Vamos resolver a integral integral raizx^2-4x^4 dx usando o método de substituição trigonométrica. Esse método é útil quando temos expressões envolvendo raízes quadradas de polinômios quadráticos, como raizx^2 - a^2. Para isso, vamos precisar conhecer algumas identidades trigonométricas e como fazer a substituição adequada.

Passo 2

Primeiro, identifique a parte da integral que se encaixa na forma raizx^2 - a^2. No nosso caso, a = 2, então temos raizx^2 - 4. Vamos fazer uma substituição trigonométrica onde x = a sectheta. Portanto, vamos definir:
x = 2 sectheta

Passo 3

Com essa substituição, precisamos também substituir dx. Derivando x em relação a theta:
dx = 2 sectheta tantheta dtheta

Passo 4

Agora, substituímos x e dx na integral original:
integral raiz(2 sectheta)^2 - 4(2 sectheta)^4 cdot 2 sectheta tantheta dtheta
Vamos simplificar isso passo a passo.

Passo 5

Simplificando a expressão dentro da raiz:
(2 sectheta)^2 - 4 = 4 sec^2theta - 4 = 4(sec^2theta - 1) = 4 tan^2theta
Então, a raiz fica:
raiz4 tan^2theta = 2 tantheta

Passo 6

Substituindo de volta na integral:
integral 2 tantheta16 sec^4theta cdot 2 sectheta tantheta dtheta = integral 4 tan^2theta sectheta16 sec^4theta dtheta = integral tan^2theta4 sec^3theta dtheta

Passo 7

Simplificando mais:
14 integral tan^2theta cos^3theta dtheta
Sabemos que tantheta = sinthetacostheta, então:
tan^2theta = sin^2thetacos^2theta, cos^3theta = costheta cdot cos^2theta
Portanto:
14 integral sin^2thetacos^2theta cdot costheta cdot cos^2theta dtheta = 14 integral sin^2theta costheta dtheta

Passo 8

Agora, fazemos uma substituição interna para facilitar a integração. Vamos definir:
u = sintheta Rightarrow du = costheta dtheta
Substituindo:
14 integral u^2 du = 14 cdot u^33 + C = u^312 + C
Voltando para theta:
sin^3theta12 + C

Passo 9

Agora, precisamos voltar para a variável original x. Sabemos que:
x = 2 sectheta Rightarrow sectheta = x2 Rightarrow theta = sec^-1(x2)
E também:
sintheta = raizx^2 - 4x
Portanto:
sin^3theta = ( raizx^2 - 4x )^3 = (x^2 - 4)^32x^3

Resposta

A integral integral raizx^2-4x^4 dx é igual a (x^2 - 4)^3212 x^3 + C, onde C é a constante de integração.

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