Usando o método de substituição trigonométrica calcule as seguintes integrais;
Passo 1
Vamos resolver a integral usando o método de substituição trigonométrica. Esse método é útil quando temos expressões envolvendo raízes quadradas de polinômios quadráticos, como . Para isso, vamos precisar conhecer algumas identidades trigonométricas e como fazer a substituição adequada.
Passo 2
Primeiro, identifique a parte da integral que se encaixa na forma . No nosso caso, , então temos . Vamos fazer uma substituição trigonométrica onde . Portanto, vamos definir:
Passo 3
Com essa substituição, precisamos também substituir . Derivando em relação a :
Passo 4
Agora, substituímos e na integral original:
Vamos simplificar isso passo a passo.
Passo 5
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Então, a raiz fica:
Passo 6
Substituindo de volta na integral:
Passo 7
Simplificando mais:
Sabemos que , então:
Portanto:
Passo 8
Agora, fazemos uma substituição interna para facilitar a integração. Vamos definir:
Substituindo:
Voltando para :
Passo 9
Agora, precisamos voltar para a variável original . Sabemos que:
E também:
Portanto:
Resposta
A integral é igual a , onde é a constante de integração.