Verifique se o critério das linhas é satisfeito nos sistemas lineares a seguir. Caso não for, permute as linhas do sistema e verifique novamente. O que podemos concluir sobre a convergência da sequência nestes casos?
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um sistema de equações lineares e precisamos verificar se ele satisfaz o critérios das linhas, que na verdade se refere ao critérios de dominância diagonal. Esse critério é importante porque, se satisfeita, garante que métodos iterativos como Jacobi ou Gauss-Seidel vão convergir para a solução do sistema.
Para resolver isso, vamos precisar:
Identificar os coeficientes das variáveis de cada equação.
Verificar se a soma dos valores absolutos dos coeficientes das variáveis não-diagonais é menor que o do coeficiente diagonal em cada linha.
Se não satisfizer, tentar permutar as linhas para ver se conseguimos tornar o sistema diagonalmente dominante.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever o sistema de forma que fique claro qual é o coeficiente diagonal de cada equação. O coeficiente diagonal é o coeficiente da variável que está alinhada na diagonal do sistema (ou seja, na primeira equação, na segunda, e assim por diante).
Nosso sistema é:
çãçãçã
Passo 3
Agora, vamos identificar os coeficientes diagonais e os não-diagonais de cada equação:
Equação 1:
Coeficiente diagonal: (de )
Coeficientes não-diagonais: (de ) e (de )
Equação 2:
Coeficiente diagonal: (de )
Coeficientes não-diagonais: (de ) e (de )
Equação 3:
Coeficiente diagonal: (de )
Coeficientes não-diagonais: (de ) e (de )
Passo 4
Vamos aplicar o critério de dominância diagonal. Esse critério diz que, para cada equação, o valor absoluto do coeficiente diagonal deve ser maior que a soma dos valores absolutos dos coeficientes não-diagonais.
Vamos verificar isso para cada equação:
Equação 1:
Equação 2:
Equação 3:
Passo 5
Como todas as equaç��es satisfazem o critério de dominância diagonal, não precisamos permutar nenhuma linha. O sistema já está pronto para aplicar métodos iterativos com garantia de convergência.
Resposta
O sistema satisfaz o critério das linhas (dominância diagonal) sem precisar permutar as equações. Portanto, podemos concluir que a sequência gerada pelos métodos iterativos utilizados neste sistema irá convergir para a solução.