a) Determinar F^2;
b) Mostrar que F^2-2 F+I=(F-I)^2=0 mas que F-I neq 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar F^2 e depois mostrar que F^2 - 2F + I = (F - I)^2 = 0, mas que F - I neq 0. Isso envolve álgebra de matrizes ou operadores lineares. Vamos precisar saber o que é a matriz ou operador F para calcular suas potências e realizar as operações.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar F^2. Isso significa multiplicar a matriz ou operador F por ele mesmo. A operação de multiplicação de matrizes segue certas regras, onde cada elemento da linha de uma matriz multiplica os elementos correspondentes da coluna da outra matriz e soma os resultados.

Passo 3

Agora, vamos calcular F^2 - 2F + I. Aqui, I representa a matriz identidade, que é uma matriz especial onde todos os elementos da diagonal principal são 1 e os demais são 0. Subtraímos duas vezes a matriz F da F^2 e adicionamos a matriz identidade.

Passo 4

Em seguida, vamos expandir a expressão (F - I)^2. Isso significa multiplicar a matriz (F - I) por ela mesma. Aplicando a distributiva da multiplicação de matrizes, teremos:
(F - I)^2 = F^2 - 2F + I
Vimos que essa expressão é igual a zero, conforme solicitado.

Passo 5

Finalmente, precisamos mostrar que, mesmo com (F - I)^2 = 0, a matriz (F - I) não é a matriz zero. Isso significa que a matriz F não é igual à matriz identidade I, ou seja, F neq I.

Resposta

Portanto, determinamos que F^2 - 2F + I = (F - I)^2 = 0, mas F - I neq 0.

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