Verifique se são coplanares os pontos
(a) A(-1,-5,0), B(2,1,3) e C(-2,-7,-1)
(b) A(2,1,-1), B(3,-1,0) e C(1,0,4)

Passo 1

Beleza, vamos analisar os pontos dados para ver se eles são coplanares. A matéria que vamos usar aqui é sobre vetores e determinantes, que nos ajudam a verificar se os vetores estão no mesmo plano. Para resolver isso, vamos precisar calcular o determinante formado pelos vetores dos pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos transformar os pontos em vetores a partir da origem. Para cada ponto , o vetor correspondente é .

Passo 3

Em seguida, organizamos esses vetores em uma matriz e calculamos o determinante dessa matriz. Se o determinante for zero, os vetores são coplanares, ou seja, estão no mesmo plano.

Passo 4

Vamos resolver a parte (a):
  • Vetor
  • Vetor
  • Vetor

Passo 5

Montamos a matriz com esses vetores:
-1 & -5 & 0 2 & 1 & 3 -2 & -7 & -1

Passo 6

Calculamos o determinante:
-1 times (1 times (-1) - 3 times (-7)) - (-5) times (2 times (-1) - 3 times (-2)) + 0 times (2 times (-7) - 1 times (-2))
= -1 times (-1 + 21) - (-5) times (-2 + 6) + 0
= -1 times 20 - (-5) times 4 + 0
= -20 + 20 + 0 = 0

Passo 7

Como o determinante é zero, os vetores são coplanares. Então, os pontos são coplanares.

Passo 8

Agora, vamos verificar a parte (b) dos pontos para ver se eles também são coplanares. Continuaremos usando vetores e determinantes para essa análise.

Passo 9

Primeiro, transformamos os pontos em vetores a partir da origem.

Passo 10

Organizamos os vetores em uma matriz e calculamos o determinante. Se for zero, os vetores são coplanares.

Passo 11

Vamos resolver a parte (b):
  • Vetor
  • Vetor
  • Vetor

Passo 12

Montamos a matriz com esses vetores:
2 & 1 & -1 3 & -1 & 0 1 & 0 & 4

Passo 13

Calculamos o determinante:
2 times (-1 times 4 - 0 times 0) - 1 times (3 times 4 - 0 times 1) + (-1) times (3 times 0 - (-1) times 1)
= 2 times (-4) - 1 times (12) + (-1) times (0 + 1)
= -8 - 12 - 1 = -21

Passo 14

Como o determinante é diferente de zero, os vetores não são coplanares. Portanto, os pontos não são coplanares.

Resposta

Os pontos da parte (b) não são coplanares.

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