Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, ache o limite.
{(n + (-1)^n) / (n - (-1)^n)}_{n ≥ 1}

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar se a sequência {(n + (-1)^n) / (n - (-1)^n)}_{n ≥ 1} converge ou diverge. Se convergir, também precisamos achar o limite. Vamos usar conceitos de limites de sequências e comportamento assintótico para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que acontece com a expressão conforme n cresce. O termo alterna entre 1 e -1 dependendo se n é par ou ímpar. Porém, como n está no numerador e no denominador, ele tende a dominar o comportamento da fração quando n fica bem grande.

Passo 3

Vamos separar a sequência em duas subsequências para facilitar:
  • Quando n é par: , então a fração fica .
  • Quando n é ímpar: , então a fração fica .

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite de cada uma dessas subsequências quando n tende ao infinito:
  • Para n par:
  • Para n ímpar:

Resposta

A sequência {(n + (-1)^n) / (n - (-1)^n)}_{n ≥ 1} converge e o limite é 1.

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