Determinar o fluxo do campo vetorial , através da superfície esférica interior ao cone com normal exterior.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o fluxo do campo vetorial através de uma superfície esférica definida por , mas apenas a parte que está dentro do cone . Para isso, vamos precisar entender o que é fluxo vetorial e como calcular usando o teorema da divergência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é fluxo. O fluxo de um campo vetorial através de uma superfície mede quanto do campo está "passando" por essa superfície. Matematicamente, é calculado usando uma integral de superfície: Onde é o vetor normal à superfície.

Passo 3

Calcular diretamente essa integral pode ser complicado, então vamos usar o **Teorema da Divergência**. Esse teorema relaciona o fluxo através de uma superfície fechada com a divergência do campo no volume limitado por essa superfície: Aqui, é o volume dentro da superfície .

Passo 4

Vamos calcular a divergência do campo . A divergência é dada por: Então, .

Passo 5

Agora, precisamos encontrar o volume sobre o qual vamos integrar. A superfície é a parte da esfera que está dentro do cone . Para descrever esse volume em coordenadas esféricas facilita bastante.

Passo 6

Vamos mudar para coordenadas esféricas, onde: O cone em coordenadas esféricas fica:

Passo 7

O limite para é de 0 a (raio da esfera), para de 0 a e para de 0 a (por causa do cone). A integral do volume em coordenadas esféricas é:

Passo 8

Vamos resolver a integral: 1. Integração em : 2. Integração em : 3. Integração em :

Passo 9

Agora, juntando tudo: Simplificando:

Resposta

O fluxo do campo vetorial através da superfície esférica dada é:

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