Determinar o fluxo do campo vetorial , através da superfície esférica interior ao cone com normal exterior.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o fluxo do campo vetorial através de uma superfície esférica definida por , mas apenas a parte que está dentro do cone . Para isso, vamos precisar entender o que é fluxo vetorial e como calcular usando o teorema da divergência.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é fluxo. O fluxo de um campo vetorial através de uma superfície mede quanto do campo está "passando" por essa superfície. Matematicamente, é calculado usando uma integral de superfície:
Onde é o vetor normal à superfície.
Passo 3
Calcular diretamente essa integral pode ser complicado, então vamos usar o **Teorema da Divergência**. Esse teorema relaciona o fluxo através de uma superfície fechada com a divergência do campo no volume limitado por essa superfície:
Aqui, é o volume dentro da superfície .
Passo 4
Vamos calcular a divergência do campo . A divergência é dada por:
Então, .
Passo 5
Agora, precisamos encontrar o volume sobre o qual vamos integrar. A superfície é a parte da esfera que está dentro do cone . Para descrever esse volume em coordenadas esféricas facilita bastante.
Passo 6
Vamos mudar para coordenadas esféricas, onde:
O cone em coordenadas esféricas fica:
Passo 7
O limite para é de 0 a (raio da esfera), para de 0 a e para de 0 a (por causa do cone). A integral do volume em coordenadas esféricas é:
Passo 8
Vamos resolver a integral:
1. Integração em :
2. Integração em :
3. Integração em :
Passo 9
Agora, juntando tudo:
Simplificando:
Resposta
O fluxo do campo vetorial através da superfície esférica dada é: