Encontre as raízes características, os vetores característicos e a diagonalização da matriz;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as raízes características (ou seja, os valores próprios), os vetores característicos (os vetores próprios) e finalmente diagonalizar a matriz . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como determinantes e resolução de equações. Não se preocupe, vou explicar cada passo direitinho!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as raízes características. Isso significa que precisamos resolver a equação característica da matriz , que é dada por:
Aqui, representa os valores próprios que queremos encontrar, e é a matriz identidade do mesmo tamanho que .

Passo 3

Vamos calcular :

Passo 4

Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Vamos expandir:
Então:

Passo 5

Agora, resolvemos a equação quadrática:
Usamos a fórmula de Bhaskara:
Então, as soluções são:

Passo 6

Agora que temos os valores próprios e , vamos encontrar os vetores próprios correspondentes a cada .
Para cada , resolvemos , onde é o vetor próprio.

Passo 7

Primeiro, para :
Montamos o sistema de equações:
Simplificando a primeira equação:
Então, o vetor próprio pode ser escrito como:

Passo 8

Agora, para :
Montamos o sistema de equações:
Simplificando a segunda equação:
Então, o vetor próprio pode ser escrito como:

Passo 9

Agora que temos os valores próprios e seus respectivos vetores próprios, podemos formar a matriz de diagonalização. Para isso, montamos a matriz com os vetores próprios como colunas e a matriz diagonal com os valores próprios na diagonal:

Passo 10

Finalmente, a diagonalização da matriz é dada por:
Onde é o inverso da matriz .

Resposta

As raízes características de são e . Os vetores característicos correspondentes são e . Assim, a diagonalização da matriz é:
onde

Exercícios relacionados

Determinar a forma geral dessa hipérbole, os autovalores e os respectivos autoespaços da matriz que a representa.
Sejam os vetores de .
(a) Escreva, se possível, o vetor como combinação linear dos vetores e .
(b) Escreva, se possível, o vetor como combinação linear dos vetores e .
Tome uma matriz . Todas as suas quatro raízes características são positivas. O que se pode inferir a respeito do determinante dessa matriz? E com relação ao sinal da forma quadrática associada a essa matriz? Qual seria o posto dessa matriz?
Verifique se os vetores são LI ou LD.
(a) e
(b) e e