Encontre as raízes características, os vetores característicos e a diagonalização da matriz;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as raízes características (ou seja, os valores próprios), os vetores característicos (os vetores próprios) e finalmente diagonalizar a matriz
. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como determinantes e resolução de equações. Não se preocupe, vou explicar cada passo direitinho!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as raízes características. Isso significa que precisamos resolver a equação característica da matriz
, que é dada por:
Aqui,
representa os valores próprios que queremos encontrar, e
é a matriz identidade do mesmo tamanho que
.
Passo 3
Vamos calcular
:
Passo 4
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Vamos expandir:
Então:
Passo 5
Agora, resolvemos a equação quadrática:
Usamos a fórmula de Bhaskara:
Então, as soluções são:
Passo 6
Agora que temos os valores próprios
e
, vamos encontrar os vetores próprios correspondentes a cada
.
Para cada
, resolvemos
, onde
é o vetor próprio.
Passo 7
Primeiro, para
:
Montamos o sistema de equações:
Simplificando a primeira equação:
Então, o vetor próprio pode ser escrito como:
Passo 8
Agora, para
:
Montamos o sistema de equações:
Simplificando a segunda equação:
Então, o vetor próprio pode ser escrito como:
Passo 9
Agora que temos os valores próprios e seus respectivos vetores próprios, podemos formar a matriz de diagonalização. Para isso, montamos a matriz
com os vetores próprios como colunas e a matriz diagonal
com os valores próprios na diagonal:
Passo 10
Finalmente, a diagonalização da matriz
é dada por:
Onde
é o inverso da matriz
.
Resposta
As raízes características de
são
e
. Os vetores característicos correspondentes são
e
. Assim, a diagonalização da matriz
é:
onde
Exercícios relacionados
Determinar a forma geral dessa hipérbole, os autovalores e os respectivos autoespaços da matriz que a representa.
Sejam os vetores
de
.
(a) Escreva, se possível, o vetor como combinação linear dos vetores
e
.
(b) Escreva, se possível, o vetor como combinação linear dos vetores
e
.
(a) Escreva, se possível, o vetor
(b) Escreva, se possível, o vetor
Tome uma matriz
. Todas as suas quatro raízes características são positivas. O que se pode inferir a respeito do determinante dessa matriz? E com relação ao sinal da forma quadrática associada a essa matriz? Qual seria o posto dessa matriz?
Verifique se os vetores são LI ou LD.
(a) e
(b) e
e
(a)
(b)