Encontre as raízes características, os vetores característicos e a diagonalização da matriz;
G=[cc 2 & 2 2 & -1 ]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as raízes características (ou seja, os valores próprios), os vetores característicos (os vetores próprios) e finalmente diagonalizar a matriz . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como determinantes e resolução de equações. Não se preocupe, vou explicar cada passo direitinho!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as raízes características. Isso significa que precisamos resolver a equação característica da matriz det(G - lambda I) = 0 , que é dada por:
Aqui, representa os valores próprios que queremos encontrar, e é a matriz identidade do mesmo tamanho que .

Passo 3

Vamos calcular G - lambda I = 2 & 2 2 & -1 - lambda & 0 0 & lambda = 2 - lambda & 2 2 & -1 - lambda :

Passo 4

Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
det(G - lambda I) = (2 - lambda)(-1 - lambda) - (2)(2) = (2 - lambda)(-1 - lambda) - 4
Vamos expandir:
(2 - lambda)(-1 - lambda) = -2 - 2lambda + lambda + lambda^2 = lambda^2 - lambda - 2
Então:
det(G - lambda I) = lambda^2 - lambda - 2 - 4 = lambda^2 - lambda - 6

Passo 5

Agora, resolvemos a equação quadrática:
lambda^2 - lambda - 6 = 0
Usamos a fórmula de Bhaskara:
lambda = 1 pm raiz1 + 242 = 1 pm raiz252 = 1 pm 52
Então, as soluções são:
lambda1 = 1 + 52 = 3 e lambda2 = 1 - 52 = -2

Passo 6

Agora que temos os valores próprios e , vamos encontrar os vetores próprios correspondentes a cada .
Para cada , resolvemos , onde é o vetor próprio.

Passo 7

Primeiro, para G - 3I = 2 - 3 & 2 2 & -1 - 3 = -1 & 2 2 & -4 :
-1v1 + 2v2 = 0 2v1 - 4v2 = 0
Montamos o sistema de equações:
v1 = 2v2
Simplificando a primeira equação:
v1 = 2 1
Então, o vetor próprio pode ser escrito como:

Passo 8

Agora, para G - (-2)I = G + 2I = 2 + 2 & 2 2 & -1 + 2 = 4 & 2 2 & 1 :
4v1 + 2v2 = 0 2v1 + v2 = 0
Montamos o sistema de equações:
v2 = -2v1
Simplificando a segunda equação:
v2 = 1 -2
Então, o vetor próprio pode ser escrito como:

Passo 9

Agora que temos os valores próprios e seus respectivos vetores próprios, podemos formar a matriz de diagonalização. Para isso, montamos a matriz P = 2 & 1 1 & -2 , D = 3 & 0 0 & -2 com os vetores próprios como colunas e a matriz diagonal com os valores próprios na diagonal:

Passo 10

Finalmente, a diagonalização da matriz G = P D P^-1 é dada por:
Onde é o inverso da matriz .

Resposta

As raízes características de 2 1 são 1 -2 e G = P D P^-1 . Os vetores característicos correspondentes são P = 2 & 1 1 & -2 e D = 3 & 0 0 & -2 e . Assim, a diagonalização da matriz é:
onde

Exercícios relacionados