Tome uma matriz . Todas as suas quatro raízes características são positivas. O que se pode inferir a respeito do determinante dessa matriz? E com relação ao sinal da forma quadrática associada a essa matriz? Qual seria o posto dessa matriz?

Passo 1

Vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos uma matriz que possui quatro raízes características (ou autovalores) todas positivas. Precisamos descobrir três coisas:
  1. O que isso nos diz sobre o determinante da matriz .
  2. Qual é o sinal da forma quadrática associada a .
  3. Qual é o posto (ou rank) dessa matriz.
Para resolver, vamos precisar entender conceitos básicos de autovalores, determinante, forma quadrática e posto de uma matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o determinante de uma matriz. O determinante de uma matriz quadrada é igual ao produto de seus autovalores. No nosso caso, todos os quatro autovalores são positivos.

Passo 3

Como o determinante é o produto dos autovalores, e todos eles são positivos, o determinante também será positivo. Isso porque o produto de números positivos sempre resulta em um número positivo.

Passo 4

Agora, vamos analisar a forma quadrática associada à matriz . A forma quadrática é dada por , onde é um vetor não nulo. O sinal dessa forma quadrática depende dos autovalores de :
  • Se todos os autovalores são positivos, a forma quadrática é positiva definida.
  • Se todos os autovalores são negativos, é negativa definida.
  • Se há autovalores positivos e negativos, é indefinida.
No nosso caso, como todos os quatro autovalores são positivos, a forma quadrática será positiva definida.

Passo 5

Por fim, vamos determinar o posto da matriz . O posto de uma matriz é igual ao número de autovalores não nulos. Já que todos os quatro autovalores são positivos (e, portanto, diferentes de zero), o posto de é igual a 4.

Resposta

O determinante da matriz é positivo. A forma quadrática associada a é positiva definida, e o posto dessa matriz é 4.

Exercícios relacionados

Encontre as raízes características, os vetores característicos e a diagonalização da matriz;
Determinar a forma geral dessa hipérbole, os autovalores e os respectivos autoespaços da matriz que a representa.
Verifique se os vetores são LI ou LD.
(a) e
(b) e e
Determine se é subespaço vetorial de :
(a) ;
(b)
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