Tome uma matriz
. Todas as suas quatro raízes características são positivas. O que se pode inferir a respeito do determinante dessa matriz? E com relação ao sinal da forma quadrática associada a essa matriz? Qual seria o posto dessa matriz?
Passo 1
Vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos uma matriz
que possui quatro raízes características (ou autovalores) todas positivas. Precisamos descobrir três coisas:
- O que isso nos diz sobre o determinante da matriz
. - Qual é o sinal da forma quadrática associada a
. - Qual é o posto (ou rank) dessa matriz.
Para resolver, vamos precisar entender conceitos básicos de autovalores, determinante, forma quadrática e posto de uma matriz.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o determinante de uma matriz. O determinante de uma matriz quadrada é igual ao produto de seus autovalores. No nosso caso, todos os quatro autovalores são positivos.
Passo 3
Como o determinante é o produto dos autovalores, e todos eles são positivos, o determinante também será positivo. Isso porque o produto de números positivos sempre resulta em um número positivo.
Passo 4
Agora, vamos analisar a forma quadrática associada à matriz
. A forma quadrática é dada por
, onde
é um vetor não nulo. O sinal dessa forma quadrática depende dos autovalores de
:
- Se todos os autovalores são positivos, a forma quadrática é positiva definida.
- Se todos os autovalores são negativos, é negativa definida.
- Se há autovalores positivos e negativos, é indefinida.
No nosso caso, como todos os quatro autovalores são positivos, a forma quadrática será positiva definida.
Passo 5
Por fim, vamos determinar o posto da matriz
. O posto de uma matriz é igual ao número de autovalores não nulos. Já que todos os quatro autovalores são positivos (e, portanto, diferentes de zero), o posto de
é igual a 4.
Resposta
O determinante da matriz
é positivo. A forma quadrática associada a
é positiva definida, e o posto dessa matriz é 4.
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Encontre as raízes características, os vetores característicos e a diagonalização da matriz;
Determinar a forma geral dessa hipérbole, os autovalores e os respectivos autoespaços da matriz que a representa.
Verifique se os vetores são LI ou LD.
(a) e
(b) e
e
(a)
(b)
Determine se é subespaço vetorial de
:
(a) ;
(b)
©
(a)
(b)
©