Determinar a função inversa. Fazer os gráficos da função dada e de sua inversa.
b) y = f(x) = x^3 / (x^3 + 8)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar a função inversa de e fazer os gráficos da função dada e de sua inversa. Aqui, estamos trabalhando com funções e suas inversas. Para isso, vamos precisar entender como inverter uma função e depois representar graficamente as duas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função inversa. A função inversa, denotada por , “desfaz” o que a função original faz. Isso significa que se , então . Nosso objetivo é encontrar uma expressão para .

Passo 3

Começamos substituindo na equação original:
Agora, queremos isolar em termos de .

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação por para eliminar o denominador:
Distribuindo o :

Passo 5

Vamos trazer todos os termos com para um lado da equação:
Fatorando :

Passo 6

Agora, isolamos :
Podemos simplificar multiplicando numerador e denominador por -1:

Passo 7

Para encontrar , tiramos a raiz cúbica de ambos os lados:
Portanto, a função inversa é:

Resposta

A função inversa de é . Além disso, os gráficos das funções e podem ser traçados para visualizar a relação inversa entre elas.

Exercícios relacionados

Determinar quais das seguintes funções são pares ou ímpares, ou então não apresentam paridade:
d) f(x) = ln(x + raiz(1 + x^2)) / 2
Para as funções f(x) e g(x), calcular f * g, f / g, f0 * g e g0 f. Fornecer os domínios de f(x), g(x) e para cada operação resultante.
d) f(x) = ln(x), g(x) = ln(x^2)
Resolva.
d) Se f(x) = 4^x, mostrar que f(x+3) - f(x-1) = 255/4 f(x).
Determinar o domínio das funções:
e) y = |x + 1/2| + raiz(x)