Determinar a função inversa. Fazer os gráficos da função dada e de sua inversa.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar a função inversa da função que está definida por partes. Além disso, precisamos desenhar os gráficos dessa função e da sua inversa. Para isso, vamos precisar entender o que é uma função inversa, como trabalhar com funções definidas por partes e como inverter cada parte da função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função inversa. A função inversa “desfaz” a ação da função original . Ou seja, se , então . Para achar a função inversa, precisamos resolver a equação em relação a .
Passo 3
Nossa função está definida por três partes:
Vamos encontrar a inversa para cada trecho separadamente.
Passo 4
Primeira parte: para
Para encontrar a inversa, vamos resolver para :
Então, a inversa dessa parte é:
Passo 5
Segunda parte: para
Vamos resolver para :
Então, a inversa dessa parte é:
Passo 6
Terceira parte: para
Vamos resolver para :
Note que deve ser negativo, já que é sempre negativo. Então, a inversa dessa parte é:
Passo 7
Agora, juntando todas as partes, a função inversa fica:
Passo 8
Por fim, para os gráficos, lembra que o gráfico da função inversa é o reflexo do gráfico da função original em relação à reta . Então, após desenhar e , você poderá visualizar essa simetria.
Resposta
A função inversa de é:
Além disso, os gráficos de e são reflexos um do outro em relação à reta .