Determinar a função inversa. Fazer os gráficos da função dada e de sua inversa.
d) y = f(x) = { e^(x - 1), x > 1; raiz(cube(x)), |x| <= 1; -e^(-x - 1), x < -1 }

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar a função inversa da função que está definida por partes. Além disso, precisamos desenhar os gráficos dessa função e da sua inversa. Para isso, vamos precisar entender o que é uma função inversa, como trabalhar com funções definidas por partes e como inverter cada parte da função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função inversa. A função inversa “desfaz” a ação da função original . Ou seja, se , então . Para achar a função inversa, precisamos resolver a equação em relação a .

Passo 3

Nossa função está definida por três partes:
Vamos encontrar a inversa para cada trecho separadamente.

Passo 4

Primeira parte: para
Para encontrar a inversa, vamos resolver para :
Então, a inversa dessa parte é:

Passo 5

Segunda parte: para
Vamos resolver para :
Então, a inversa dessa parte é:

Passo 6

Terceira parte: para
Vamos resolver para :
Note que deve ser negativo, já que é sempre negativo. Então, a inversa dessa parte é:

Passo 7

Agora, juntando todas as partes, a função inversa fica:

Passo 8

Por fim, para os gráficos, lembra que o gráfico da função inversa é o reflexo do gráfico da função original em relação à reta . Então, após desenhar e , você poderá visualizar essa simetria.

Resposta

A função inversa de é:
Além disso, os gráficos de e são reflexos um do outro em relação à reta .

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