Para as funções f(x) e g(x), calcular f * g, f / g, f0 * g e g0 f. Fornecer os domínios de f(x), g(x) e para cada operação resultante.
e) f(x) = log_3(x), g(x) = cos(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular as operações entre as funções e . O assunto aqui é operações com funções, como multiplicação, divisão e composição. Vamos precisar lembrar como essas operações funcionam e também determinar os domínios de cada função e das operações resultantes.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os domínios das funções individuais.
  • Domínio de :
    O logaritmo só está definido para números maiores que zero. Então,
  • Domínio de :
    A função cosseno está definida para todos os números reais. Então,

Passo 3

Agora, vamos calcular , ou seja, .
  • Expressão:
  • Domínio:
    Para a multiplicação de funções, o domínio é a interseção dos domínios das funções individuais. Então,

Passo 4

Agora, vamos calcular , ou seja, .
  • Expressão:
  • Domínio:
    Além da interseção dos domínios de e , devemos garantir que o denominador não seja zero. Ou seja,

Passo 5

Vamos calcular , que é a composição das funções .
  • Expressão:
  • Domínio:
    Para a composição estar definida, deve estar no domínio de . Assim,
    Isso acontece quando está nos intervalos:
    Portanto,

Passo 6

Por último, vamos calcular , que é a composição .
  • Expressão:
  • Domínio:
    Aqui, precisa estar no domínio de . Como está definido para todos os reais, só precisamos que esteja definido, ou seja,

Resposta

As operações entre as funções e são:
  1. Multiplicação:
  2. Divisão:
  3. Composição :
  4. Composição :

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