Determinar a função
, sabendo que:
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a função
sabendo que:
E também que
.
Aqui estamos trabalhando com cálculo, especificamente com integrais e derivadas. Para resolver isso, vamos precisar usar integração por partes e entender como derivadas e integrais se relacionam.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a expressão que temos:
A gente tem uma integral envolvendo
. Para facilitar, vamos chamar
. Assim,
.
Então, a equação fica:
Passo 3
Vamos aplicar a regra da integração por partes, que diz que:
Nesse caso, podemos identificar:
-
-
(já que )
Mas na verdade, uma maneira mais direta é perceber que:
No entanto, para simplificar, vamos derivar ambos os lados da equação original para eliminar a integral.
Passo 4
Derivando ambos os lados da equação em relação a
:
Pelo teorema fundamental do cálculo, a derivada da integral é apenas o integrando:
Passo 5
Agora, temos a equação:
Queremos isolar
, então dividimos ambos os lados por
:
Passo 6
Simplificando a fração à direita:
Primeiro, fatoramos o denominador:
Então,
Passo 7
Agora, temos que integrar
para encontrar
:
Para resolver essa integral, podemos usar frações parciais. Vamos decompor a fração:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 8
Resolvendo para
e
:
Primeiro, expandimos:
Agrupando os termos:
Agora, igualamos os coeficientes:
Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Passo 9
Agora, substituímos
e
na decomposição:
Então, a integral fica:
Integrando termo a termo:
Podemos simplificar usando propriedades dos logaritmos:
Passo 10
Agora, usamos a condição inicial
para encontrar a constante
.
Substituindo
:
Resolvendo para
:
Resposta
A função
é:
Ou, simplificando os termos constantes:
Exercícios relacionados
Encontrar uma função
tal que
e
.
Resolva as seguintes integrais:
Sendo
definida por
, determine
.
Calcule usando o Teorema Fundamental do Cálculo