Determinar a função f(x), sabendo que:
integral(x^3-4 x) f^prime(x) d x=x^3+c e f(0)=-2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a função integral(x^3 - 4x) f^prime(x) , dx = x^3 + c sabendo que:
E também que .
Aqui estamos trabalhando com cálculo, especificamente com integrais e derivadas. Para resolver isso, vamos precisar usar integração por partes e entender como derivadas e integrais se relacionam.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a expressão que temos:
integral(x^3 - 4x) f^prime(x) , dx = x^3 + c
A gente tem uma integral envolvendo integral(x^3 - 4x) u' , dx = x^3 + c . Para facilitar, vamos chamar . Assim, .
Então, a equação fica:

Passo 3

Vamos aplicar a regra da integração por partes, que diz que:
integral u , dv = uv - integral v , du
Nesse caso, podemos identificar:
  • integral(x^3 - 4x) f^prime(x) , dx = (x^3 - 4x) f(x) - integral f(x) cdot (3x^2 - 4) , dx
  • (já que )
Mas na verdade, uma maneira mais direta é perceber que:
No entanto, para simplificar, vamos derivar ambos os lados da equação original para eliminar a integral.

Passo 4

Derivando ambos os lados da equação em relação a ddx ( integral(x^3 - 4x) f^prime(x) , dx ) = ddx ( x^3 + c ) :
(x^3 - 4x) f^prime(x) = 3x^2
Pelo teorema fundamental do cálculo, a derivada da integral é apenas o integrando:

Passo 5

Agora, temos a equação:
(x^3 - 4x) f^prime(x) = 3x^2
Queremos isolar f^prime(x) = 3x^2x^3 - 4x , então dividimos ambos os lados por :

Passo 6

Simplificando a fração à direita:
Primeiro, fatoramos o denominador:
x^3 - 4x = x(x^2 - 4) = x(x - 2)(x + 2)
Então,
f^prime(x) = 3x^2x(x - 2)(x + 2) = 3x(x - 2)(x + 2)

Passo 7

Agora, temos que integrar f(x) = integral 3x(x - 2)(x + 2) , dx + C para encontrar 3x(x - 2)(x + 2) = Ax - 2 + Bx + 2 :
3x = A(x + 2) + B(x - 2)
Para resolver essa integral, podemos usar frações parciais. Vamos decompor a fração:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 8

Resolvendo para 3x = A x + 2A + B x - 2B e 3x = (A + B) x + (2A - 2B) :
Primeiro, expandimos:
A + B = 3 (coeficiente de x )
Agrupando os termos:
2A - 2B = 0 (termo constante)
Agora, igualamos os coeficientes:
2A - 2B = 0 Rightarrow A = B
A + A = 3 Rightarrow 2A = 3 Rightarrow A = 32
Da segunda equação:
B = 32
Substituindo na primeira equação:

Passo 9

Agora, substituímos 3x(x - 2)(x + 2) = 32x - 2 + 32x + 2 e f(x) = integral ( 3/2x - 2 + 3/2x + 2 ) , dx + C na decomposição:
f(x) = 32 ln|x - 2| + 32 ln|x + 2| + C
Então, a integral fica:
f(x) = 32 ln|x^2 - 4| + C
Integrando termo a termo:
Podemos simplificar usando propriedades dos logaritmos:

Passo 10

Agora, usamos a condição inicial -2 = 32 ln|0^2 - 4| + C para encontrar a constante -2 = 32 ln(4) + C .
Substituindo C = -2 - 32 ln(4) :
Resolvendo para :

Resposta

A função f(x) = 32 ln|x^2 - 4| - 2 - 32 ln(4) é:
f(x) = 32 ln(x^2 - 44) - 2
Ou, simplificando os termos constantes:

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