Determinar a função , sabendo que:
e

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a função sabendo que:
E também que .
Aqui estamos trabalhando com cálculo, especificamente com integrais e derivadas. Para resolver isso, vamos precisar usar integração por partes e entender como derivadas e integrais se relacionam.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a expressão que temos:
A gente tem uma integral envolvendo . Para facilitar, vamos chamar . Assim, .
Então, a equação fica:

Passo 3

Vamos aplicar a regra da integração por partes, que diz que:
Nesse caso, podemos identificar:
  • (já que )
Mas na verdade, uma maneira mais direta é perceber que:
No entanto, para simplificar, vamos derivar ambos os lados da equação original para eliminar a integral.

Passo 4

Derivando ambos os lados da equação em relação a :
Pelo teorema fundamental do cálculo, a derivada da integral é apenas o integrando:

Passo 5

Agora, temos a equação:
Queremos isolar , então dividimos ambos os lados por :

Passo 6

Simplificando a fração à direita:
Primeiro, fatoramos o denominador:
Então,

Passo 7

Agora, temos que integrar para encontrar :
Para resolver essa integral, podemos usar frações parciais. Vamos decompor a fração:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 8

Resolvendo para e :
Primeiro, expandimos:
Agrupando os termos:
Agora, igualamos os coeficientes:
Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:

Passo 9

Agora, substituímos e na decomposição:
Então, a integral fica:
Integrando termo a termo:
Podemos simplificar usando propriedades dos logaritmos:

Passo 10

Agora, usamos a condição inicial para encontrar a constante .
Substituindo :
Resolvendo para :

Resposta

A função é:
Ou, simplificando os termos constantes:

Exercícios relacionados

Encontrar uma função tal que e .
Resolva as seguintes integrais:
Sendo definida por , determine .
Calcule usando o Teorema Fundamental do Cálculo