Encontrar uma função tal que e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar uma função que satisfaz a equação diferencial e que, além disso, vale . Vamos trabalhar com equações diferenciais, que é um tema da matemática que estuda como as funções mudam. Para resolver isso, vamos integrar a equação e usar a condição inicial para encontrar a constante de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para facilitar a integração. Temos:
Podemos isolar :

Passo 3

Agora, para encontrar , precisamos integrar :

Passo 4

Fazendo a integral de :
Aqui, é a constante de integração que precisamos determinar usando a condição inicial.

Passo 5

Vamos usar a condição para encontrar :
Sabemos que , então:

Resposta

A função que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial é:

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Resolva as seguintes integrais:
Resolva as seguintes integrais:
Determinar a função , sabendo que:
e
Sendo definida por , determine .