Resolva as seguintes integrais: integral d xx^2-4 x+4

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral d xx^2-4 x+4. Esse exercício está no conteúdo de cálculo integral, especificamente em integração de funções racionais. Para resolver, vamos precisar fatorar o denominador e usar técnicas de frações parciais ou completar o quadrado para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o denominador da fração: x^2 - 4x + 4. Esse é um trinômio do segundo grau e podemos tentar fatorá-lo. Observando bem, percebemos que ele é um quadrado perfeito, porque:
x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2
Então, a integral fica:
integral dx(x - 2)^2

Passo 3

Agora, vamos simplificar a integral usando uma substituição. Vamos chamar u = x - 2. Assim, a derivada de u em relação a x é:
du = dx
Então, podemos substituir na integral:
integral duu^2

Passo 4

A integral integral duu^2 é uma integral padrão. Lembrando que:
integral u^n du = u^n+1n+1 + C
onde n neq -1. No nosso caso, n = -2, então:
integral u^-2 du = u^-1-1 + C = -1u + C

Passo 5

Agora, substituímos de volta u = x - 2 na expressão que encontramos:
-1u + C = -1x - 2 + C

Resposta

A integral integral d xx^2-4 x+4 é igual a:
-1x - 2 + C
Onde C é a constante de integração.

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