Sejam o campo F(x, y, z) = (x^2 + cos(y * z), y^3, z) e S a superfície parte do cilindro x^2 + y^2 = 4 compreendida entre os planos z = 0 e z = 2 com o vetor normal apontado para fora do cilindro. Determine o fluxo de F sobre S utilizando:
a) A definição.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta um campo vetorial e uma superfície S que é parte do cilindro x^2 + y^2 = 4, entre os planos z = 0 e z = 2. Queremos descobrir o fluxo de F sobre essa superfície S usando a definição de fluxo. Para isso, vamos precisar entender conceitos de cálculo vetorial como fluxo, integrais de superfície e parametrização de superfícies.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície. O fluxo mede a quantidade de campo que “passa” pela superfície. Matematicamente, é dado pela integral de superfície:
Aqui, n é o vetor normal à superfície S e é um elemento de área na superfície.

Passo 3

Precisamos parametrizar a superfície S. Como S é parte do cilindro x^2 + y^2 = 4, podemos usar coordenadas cilíndricas para facilitar. Vamos definir:
Aqui, theta varia de 0 a para cobrir todo o círculo e z varia de 0 a .

Passo 4

Com a parametrização, vamos encontrar dois vetores tangentes à superfície. Calculamos as derivadas parciais em relação a theta e z:

Passo 5

Agora, o vetor normal n à superfície é obtido pelo produto vetorial desses vetores tangentes:
Observe que o vetor normal está apontando para fora do cilindro, conforme especificado no enunciado.

Passo 6

Vamos substituir a parametrização na expressão do campo vetorial F:

Passo 7

Agora, calculamos o produto escalar :
Simplificando:

Passo 8

Agora, montamos a integral de superfície:
Aqui, o fator 2 vem do determinante Jacobiano da parametrização cilíndrica.

Passo 9

Vamos integrar em z primeiro:
Simplificando:

Passo 10

Agora, integramos em theta:
Essa integral pode ser resolvida utilizando técnicas de integração para cada termo. Observamos que alguns termos, devido à simetria, podem desaparecer.

Passo 11

Após resolver as integrais, encontramos que:
Calculando:
Portanto:

Resposta

O fluxo de F sobre a superfície S é .

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