Sejam o campo
e
a superfície parte do cilindro
compreendida entre os planos
e
com o vetor normal apontado para fora do cilindro. Determine o fluxo de
sobre
utilizando:
a) A definição.
a) A definição.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta um campo vetorial
e uma superfície
que é parte do cilindro
, entre os planos
e
. Queremos descobrir o fluxo de
sobre essa superfície
usando a definição de fluxo. Para isso, vamos precisar entender conceitos de cálculo vetorial como fluxo, integrais de superfície e parametrização de superfícies.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície. O fluxo mede a quantidade de campo que “passa” pela superfície. Matematicamente, é dado pela integral de superfície:
Aqui,
é o vetor normal à superfície
e
é um elemento de área na superfície.
Passo 3
Precisamos parametrizar a superfície
. Como
é parte do cilindro
, podemos usar coordenadas cilíndricas para facilitar. Vamos definir:
Aqui,
varia de
a
para cobrir todo o círculo e
varia de
a
.
Passo 4
Com a parametrização, vamos encontrar dois vetores tangentes à superfície. Calculamos as derivadas parciais em relação a
e
:
Passo 5
Agora, o vetor normal
à superfície é obtido pelo produto vetorial desses vetores tangentes:
Observe que o vetor normal está apontando para fora do cilindro, conforme especificado no enunciado.
Passo 6
Vamos substituir a parametrização na expressão do campo vetorial
:
Passo 7
Agora, calculamos o produto escalar
:
Simplificando:
Passo 8
Agora, montamos a integral de superfície:
Aqui, o fator 2 vem do determinante Jacobiano da parametrização cilíndrica.
Passo 9
Vamos integrar em
primeiro:
Simplificando:
Passo 10
Agora, integramos em
:
Essa integral pode ser resolvida utilizando técnicas de integração para cada termo. Observamos que alguns termos, devido à simetria, podem desaparecer.
Passo 11
Após resolver as integrais, encontramos que:
Calculando:
Portanto:
Resposta
O fluxo de
sobre a superfície
é
.