Determinar uma função
cujo o gráfico passe pelo ponto (
) e tal que a reta tangente no ponto genérico
tenha coeficiente angular
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar uma função
que passa pelo ponto
e que a reta tangente em qualquer ponto
do gráfico tenha um coeficiente angular igual a
.
Matéria envolvida: Equações diferenciais de primeira ordem.
O que vamos precisar: Conhecimentos sobre equações diferenciais exatas e como resolvê-las.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que o coeficiente angular da reta tangente a um ponto em uma curva
é dado pela derivada
. Então, temos a seguinte equação diferencial:
Passo 3
Vamos reescrever essa equação para facilitar a resolução. Multiplicando ambos os lados por
, temos:
Rearranjando os termos:
Passo 4
Agora, identificamos os termos
e
na forma diferencial exata:
Para verificar se a equação é exata, precisamos checar se:
Calculando as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata.
Passo 5
Como a equação é exata, existe uma função
tal que:
Vamos encontrar
integrando
em relação a
:
Onde
é uma função de
que aparece na constante de integração.
Passo 6
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Isso implica que
, então
é uma constante, que podemos chamar de
.
Passo 7
Portanto, a solução geral da equação diferencial é:
Passo 8
Agora, aplicamos a condição inicial fornecida: o gráfico passa pelo ponto
. Substituindo
e
na equação, encontramos
:
Resposta
A função desejada está definida implicitamente por:
Exercícios relacionados
Se as constantes; taxa de cresciemento:
e
e as medidas do cfeito de interação sāo:
e
, entāo diga como fica a relação entre
e
.
Mostre que
e
são ambas soluções de
As funções,
e
, com
e
constantes arbitrárias, são também soluções? A soma
é uma solução?
Determine um fator integrante e resolva a equação
Determine o volume do sólido que está abaixo da superfície
e acima do triângulo com vértices
e
.