Determinar uma função cujo o gráfico passe pelo ponto ( ) e tal que a reta tangente no ponto genérico tenha coeficiente angular .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar uma função que passa pelo ponto e que a reta tangente em qualquer ponto do gráfico tenha um coeficiente angular igual a .
Matéria envolvida: Equações diferenciais de primeira ordem.
O que vamos precisar: Conhecimentos sobre equações diferenciais exatas e como resolvê-las.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que o coeficiente angular da reta tangente a um ponto em uma curva é dado pela derivada . Então, temos a seguinte equação diferencial:

Passo 3

Vamos reescrever essa equação para facilitar a resolução. Multiplicando ambos os lados por , temos:
Rearranjando os termos:

Passo 4

Agora, identificamos os termos e na forma diferencial exata:
Para verificar se a equação é exata, precisamos checar se:
Calculando as derivadas parciais:
Como , a equação é exata.

Passo 5

Como a equação é exata, existe uma função tal que:
Vamos encontrar integrando em relação a :
Onde é uma função de que aparece na constante de integração.

Passo 6

Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Isso implica que , então é uma constante, que podemos chamar de .

Passo 7

Portanto, a solução geral da equação diferencial é:

Passo 8

Agora, aplicamos a condição inicial fornecida: o gráfico passa pelo ponto . Substituindo e na equação, encontramos :

Resposta

A função desejada está definida implicitamente por:

Exercícios relacionados

Se as constantes; taxa de cresciemento: e e as medidas do cfeito de interação sāo: e , entāo diga como fica a relação entre e .
Mostre que e são ambas soluções de
As funções, e , com e constantes arbitrárias, são também soluções? A soma é uma solução?
Determine um fator integrante e resolva a equação
Determine o volume do sólido que está abaixo da superfície e acima do triângulo com vértices e .