Determinar uma função y = y(x) cujo o gráfico passe pelo ponto ( 1, 5/6 ) e tal que a reta tangente no ponto genérico (x, y) tenha coeficiente angular - (2 x + sen y) / (x cos y).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar uma função que passa pelo ponto e que a reta tangente em qualquer ponto do gráfico tenha um coeficiente angular igual a .
Matéria envolvida: Equações diferenciais de primeira ordem.
O que vamos precisar: Conhecimentos sobre equações diferenciais exatas e como resolvê-las.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que o coeficiente angular da reta tangente a um ponto em uma curva é dado pela derivada . Então, temos a seguinte equação diferencial:

Passo 3

Vamos reescrever essa equação para facilitar a resolução. Multiplicando ambos os lados por , temos:
Rearranjando os termos:

Passo 4

Agora, identificamos os termos e na forma diferencial exata:
Para verificar se a equação é exata, precisamos checar se:
Calculando as derivadas parciais:
Como , a equação é exata.

Passo 5

Como a equação é exata, existe uma função tal que:
Vamos encontrar integrando em relação a :
Onde é uma função de que aparece na constante de integração.

Passo 6

Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Isso implica que , então é uma constante, que podemos chamar de .

Passo 7

Portanto, a solução geral da equação diferencial é:

Passo 8

Agora, aplicamos a condição inicial fornecida: o gráfico passa pelo ponto . Substituindo e na equação, encontramos :

Resposta

A função desejada está definida implicitamente por:

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