Mostre que e são ambas soluções de
As funções, e , com e constantes arbitrárias, são também soluções? A soma é uma solução?

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos duas funções:
Precisamos mostrar que ambas são soluções da equação diferencial:
Além disso, queremos saber se as funções e , onde e são constantes arbitrárias, também são soluções. E por fim, verificar se a soma é uma solução da mesma equação. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas das funções e substituir na equação diferencial para ver se a igualdade se mantém.

Passo 2

Vamos começar verificando se é uma solução da equação diferencial.
Primeiro, calculamos a derivada de :
Agora, substituímos e na equação diferencial:
Simplificando o lado direito:
A igualdade se confirma, então é realmente uma solução da equação.

Passo 3

Agora, vamos verificar se é uma solução.
Calculamos a derivada de :
Substituindo e na equação diferencial:
Simplificando o lado direito:
A igualdade se confirma, então também é uma solução da equação.

Passo 4

Agora, vamos verificar se as funções e são soluções, onde e são constantes arbitrárias.
Primeiro, consideramos . Calculamos a derivada:
Substituindo na equação diferencial:
Simplificando:
Para que a igualdade seja válida para todo , precisamos que , ou seja, . Isso só é verdade se ou .
Portanto, é uma solução apenas para ou , e não para qualquer constante arbitrária.
De maneira similar, consideramos . Calculamos a derivada:
Substituindo na equação diferencial:
Simplificando:
Para que a igualdade seja válida para todo , precisamos que:
Multiplicando todos os termos por 2 para eliminar os denominadores:
Rearranjando:
Então, ou .
Portanto, é uma solução apenas para ou , e não para qualquer constante arbitrária.

Passo 5

Por fim, vamos verificar se a soma é uma solução da equação diferencial.
Calculamos a derivada da soma:
Substituindo na equação diferencial:
Simplificando o lado direito:
Para que a igualdade seja verdadeira, os termos com devem se cancelar:
Isso só ocorre quando . Portanto, a igualdade não é válida para todo , ou seja, a soma não é uma solução da equação diferencial.

Resposta

As funções e são soluções da equação diferencial dada. No entanto, apenas as combinações e com ou e ou são soluções. A soma não é uma solução da equação diferencial.

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