Mostre que
e
são ambas soluções de
As funções,
e
, com
e
constantes arbitrárias, são também soluções? A soma
é uma solução?
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos duas funções:
Precisamos mostrar que ambas são soluções da equação diferencial:
Além disso, queremos saber se as funções
e
, onde
e
são constantes arbitrárias, também são soluções. E por fim, verificar se a soma
é uma solução da mesma equação. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas das funções e substituir na equação diferencial para ver se a igualdade se mantém.
Passo 2
Vamos começar verificando se
é uma solução da equação diferencial.
Primeiro, calculamos a derivada de
:
Agora, substituímos
e
na equação diferencial:
Simplificando o lado direito:
A igualdade se confirma, então
é realmente uma solução da equação.
Passo 3
Agora, vamos verificar se
é uma solução.
Calculamos a derivada de
:
Substituindo
e
na equação diferencial:
Simplificando o lado direito:
A igualdade se confirma, então
também é uma solução da equação.
Passo 4
Agora, vamos verificar se as funções
e
são soluções, onde
e
são constantes arbitrárias.
Primeiro, consideramos
. Calculamos a derivada:
Substituindo na equação diferencial:
Simplificando:
Para que a igualdade seja válida para todo
, precisamos que
, ou seja,
. Isso só é verdade se
ou
.
Portanto,
é uma solução apenas para
ou
, e não para qualquer constante arbitrária.
De maneira similar, consideramos
. Calculamos a derivada:
Substituindo na equação diferencial:
Simplificando:
Para que a igualdade seja válida para todo
, precisamos que:
Multiplicando todos os termos por 2 para eliminar os denominadores:
Rearranjando:
Então,
ou
.
Portanto,
é uma solução apenas para
ou
, e não para qualquer constante arbitrária.
Passo 5
Por fim, vamos verificar se a soma
é uma solução da equação diferencial.
Calculamos a derivada da soma:
Substituindo na equação diferencial:
Simplificando o lado direito:
Para que a igualdade seja verdadeira, os termos com
devem se cancelar:
Isso só ocorre quando
. Portanto, a igualdade não é válida para todo
, ou seja, a soma
não é uma solução da equação diferencial.
Resposta
As funções
e
são soluções da equação diferencial dada. No entanto, apenas as combinações
e
com
ou
e
ou
são soluções. A soma
não é uma solução da equação diferencial.
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a função
é solução da equação:
e
Determine para quais valores de
a função
é solução da equação:
e
Se as constantes; taxa de cresciemento:
e
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e
, entāo diga como fica a relação entre
e
.
Determinar uma função
cujo o gráfico passe pelo ponto (
) e tal que a reta tangente no ponto genérico
tenha coeficiente angular
.