Resolva pelo método da variação dos parametros as seguintes equações: t y'' - (1 + t) y' - y = t^2 e^(2t), t > 0, y1(t) = e^t, y2(t) = 1 + t,

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando o método da variação dos parâmetros. A equação que temos é:
Além disso, já nos deram duas soluções da equação homogênea associada: e .
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma equação diferencial linear de segunda ordem e como aplicar o método da variação dos parâmetros para encontrar uma solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de uma forma mais familiar. Dividindo todos os termos por para simplificar:
Agora, identificamos os coeficientes de e :

Passo 3

Sabemos que a solução geral da equação homogênea associada é:
Agora, para encontrar a solução particular usando a variação dos parâmetros, assumimos que ela tem a forma:
Onde e são funções que precisamos determinar.

Passo 4

Para encontrar e , usamos as seguintes fórmulas:
Aqui, é o Wronskiano das soluções homogêneas, calculado por:

Passo 5

Substituindo os valores na fórmula para e :

Passo 6

Agora, integramos e para encontrar e :
Para :
Vamos integrar por partes:
  •     
  •      
Então,
Desprezamos a constante de integração, pois já está incluída na solução geral.
Para :

Passo 7

Com e , substituímos na expressão da solução particular:
Simplificando:

Resposta

A solução geral da equação dada pelo método da variação dos parâmetros é:
Onde e são constantes arbitrárias.

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