Resolva pelo método da variação dos parametros as seguintes equações:
,
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando o método da variação dos parâmetros. A equação que temos é:
Além disso, já nos deram duas soluções da equação homogênea associada:
e
.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma equação diferencial linear de segunda ordem e como aplicar o método da variação dos parâmetros para encontrar uma solução particular.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de uma forma mais familiar. Dividindo todos os termos por
para simplificar:
Agora, identificamos os coeficientes de
e
:
Passo 3
Sabemos que a solução geral da equação homogênea associada é:
Agora, para encontrar a solução particular
usando a variação dos parâmetros, assumimos que ela tem a forma:
Onde
e
são funções que precisamos determinar.
Passo 4
Para encontrar
e
, usamos as seguintes fórmulas:
Aqui,
é o Wronskiano das soluções homogêneas, calculado por:
Passo 5
Substituindo os valores na fórmula para
e
:
Passo 6
Agora, integramos
e
para encontrar
e
:
Para
:
Vamos integrar por partes:
Então,
Desprezamos a constante de integração, pois já está incluída na solução geral.
Para
:
Passo 7
Com
e
, substituímos na expressão da solução particular:
Simplificando:
Resposta
A solução geral da equação dada pelo método da variação dos parâmetros é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
Exercícios relacionados
Verifique se as funções
e
dadas, constituem um conjunto fundamental de soluções da equação diferencial dada:
.
Determinar uma função
cujo o gráfico passe pelo ponto
e tal que a reta tangente no ponto genérico
tenha coeficiente angular
.
Verifique se as séries abaixo são absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Verifique se as séries abaixo são absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.