Determinar uma função y = y(x) cujo o gráfico passe pelo ponto 1,1 e tal que a reta tangente no ponto genérico (x, y) tenha coeficiente angulax (x + 2y) / (y - 2x)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos encontrar uma função que passa pelo ponto e que a reta tangente em qualquer ponto do gráfico tenha um coeficiente angular dado por . Para resolver isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais.

Passo 2

O coeficiente angular da reta tangente é essencialmente a derivada . Então, podemos escrever a equação diferencial assim:
Nosso objetivo é encontrar a função que satisfaz essa equação e passa pelo ponto dado.

Passo 3

Esta equação diferencial parece ser homogênea, o que significa que podemos simplificá-la usando uma substituição adequada. Vamos definir , ou seja, . Isso ajuda a reduzir a equação a uma forma mais fácil de resolver.

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada em termos de e :
Substituindo isso na equação diferencial original, temos:
Simplificando o lado direito:

Passo 5

Vamos isolar :
Dividindo ambos os lados por :

Passo 6

Agora, temos uma equação separável. Vamos rearranjá-la para separar as variáveis e :
Integrando ambos os lados:

Passo 7

Vamos resolver as integrais. Primeiro, simplificando a fração no lado esquerdo:
Podemos realizar uma substituição para facilitar a integração:
Observamos que está presente, então ajustamos:
Integrando:
Substituindo :

Passo 8

Exponenciando ambos os lados para eliminar os logaritmos:
Onde é uma constante. Rearranjando:
Lembrando que , substituímos de volta:
Multiplicando tudo por :

Passo 9

Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar o valor de :
Portanto, a solução particular é:

Passo 10

Podemos tentar resolver essa equação para de forma explícita. Reorganizando:
Esta é uma equação quadrática em , que podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
Simplificando:
Aplicando a condição inicial , escolhemos o sinal negativo:

Resposta

A função que satisfaz as condições do exercício é:

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