Determinar uma função
cujo o gráfico passe pelo ponto
e tal que a reta tangente no ponto genérico
tenha coeficiente angulax
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos encontrar uma função
que passa pelo ponto
e que a reta tangente em qualquer ponto
do gráfico tenha um coeficiente angular dado por
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais.
Passo 2
O coeficiente angular da reta tangente é essencialmente a derivada
. Então, podemos escrever a equação diferencial assim:
Nosso objetivo é encontrar a função
que satisfaz essa equação e passa pelo ponto dado.
Passo 3
Esta equação diferencial parece ser homogênea, o que significa que podemos simplificá-la usando uma substituição adequada. Vamos definir
, ou seja,
. Isso ajuda a reduzir a equação a uma forma mais fácil de resolver.
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada
em termos de
e
:
Substituindo isso na equação diferencial original, temos:
Simplificando o lado direito:
Passo 5
Vamos isolar
:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 6
Agora, temos uma equação separável. Vamos rearranjá-la para separar as variáveis
e
:
Integrando ambos os lados:
Passo 7
Vamos resolver as integrais. Primeiro, simplificando a fração no lado esquerdo:
Podemos realizar uma substituição para facilitar a integração:
Observamos que
está presente, então ajustamos:
Integrando:
Substituindo
:
Passo 8
Exponenciando ambos os lados para eliminar os logaritmos:
Onde
é uma constante. Rearranjando:
Lembrando que
, substituímos de volta:
Multiplicando tudo por
:
Passo 9
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar o valor de
:
Portanto, a solução particular é:
Passo 10
Podemos tentar resolver essa equação para
de forma explícita. Reorganizando:
Esta é uma equação quadrática em
, que podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
Simplificando:
Aplicando a condição inicial
, escolhemos o sinal negativo:
Resposta
A função que satisfaz as condições do exercício é: