Um tanque com capacidade para 180 litros tem inicialmente 80 litros de fluido nos quais 4 g de sal são dissolvidos. Uma solução salina contendo
de sal por litro é bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 4 litros por minuto. A mistura é então drenada a uma taxa de 3 litros por minuto. Descubra quantos gramas de sal haverá no tanque quando ele atingir sua capacidade máxima.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um tanque que pode guardar até 180 litros, mas já tem 80 litros com 4 gramas de sal dissolvido. A gente tá adicionando uma solução com 0,5 g de sal por litro a 4 litros por minuto e tirando a mistura a 3 litros por minuto. Nosso objetivo é descobrir quantas gramas de sal vão ter no tanque quando ele estiver cheio.
Passo 2
Primeiro, vamos ver como a quantidade de líquido no tanque muda com o tempo. A gente tá adicionando 4 litros por minuto e tirando 3 litros por minuto, então o volume aumenta 1 litro por minuto. Como o tanque começa com 80 litros e pode chegar a 180 litros, ele vai encher em
litros. Como está aumentando a 1 litro por minuto, leva
minutos para encher.
Passo 3
Agora, vamos calcular como o sal está entrando e saindo do tanque. A solução que entra tem 0,5 g de sal por litro e tá entrando a 4 litros por minuto, então a quantidade de sal entrando por minuto é
g/min.
Passo 4
Para a saída, a concentração de sal no tanque muda conforme o volume muda. A concentração é a quantidade de sal dividida pelo volume. Se
é a quantidade de sal no tempo
, e o volume
litros, então a concentração é
g/litro. Como estão saindo 3 litros por minuto, a quantidade de sal que sai por minuto é
.
Passo 5
Vamos montar a equação que descreve como o sal muda com o tempo:
Essa é uma equação diferencial que precisamos resolver para encontrar
.
Passo 6
Vamos rearranjar a equação:
Essa é uma equação linear que pode ser resolvida usando um fator integrante. O fator integrante é:
Passo 7
Multiplicamos a equação inteira pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Integrando ambos os lados:
Passo 8
Aplicando a condição inicial
:
Resolvendo para
:
Passo 9
A solução da equação é:
Passo 10
Vamos avaliar
quando o tanque está cheio, ou seja, quando
minutos:
Calculando a segunda parte:
Então:
Resposta
Quando o tanque atinge a capacidade máxima de 180 litros, haverá aproximadamente 83,17 gramas de sal.
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Esboce (qualitativamente) os gráficos das soluções
da EDO
para as seguintes condiçōes iniciais:(d)
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Determinar uma função
cujo o gráfico passe pelo ponto
e tal que a reta tangente no ponto genérico
tenha coeficiente angulax
Determine um fator integrante e resolva a equação