Esboce (qualitativamente) os gráficos das soluções
da EDO
para as seguintes condiçōes iniciais:(d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente esboçar qualitativamente os gráficos das soluções
da equação diferencial ordinária (EDO)
com a condição inicial
. A matéria aqui envolve EDOs e o comportamento das soluções com base na derivada dada. Para resolver, vamos precisar entender como a função derivada
influencia o comportamento de
.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a equação
. Isso nos diz que a taxa de variação de
em relação ao tempo
é igual ao cosseno de
. Ou seja, dependendo do valor de
,
pode estar aumentando ou diminuindo.
Passo 3
Agora, vamos pensar na condição inicial
. O valor
é um ponto especial para o cosseno, pois
. Mas estamos um pouco antes desse ponto, a
.
Passo 4
Vamos calcular
. Sabemos que no intervalo entre
e
, o cosseno vai de -1 aumentando até 0. Então,
será um valor negativo, mas próximo de 0.
Passo 5
Como
é negativo nesse ponto inicial, isso significa que
vai diminuir. Ou seja, se
aumenta um pouco,
vai se mover para valores menores que
.
Passo 6
Vamos pensar no comportamento a longo prazo. Conforme
diminui, fazemos com que
se aproxime de um ponto onde
, que é
. Porém, como a derivada nunca será exatamente zero,
nunca alcança exatamente
, mas fica cada vez mais próximo disso.
Passo 7
Então, o gráfico de
vai ser uma curva que se aproxima assintoticamente de
conforme
aumenta. Começando em
no tempo
, a solução vai se movendo em direção a
sem nunca alcançá-lo exatamente.
Resposta
O gráfico de
começa em
e diminui gradualmente, aproximando-se assintoticamente de
conforme o tempo
aumenta.
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da EDO
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Esboce (qualitativamente) os gráficos das soluções
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Um tanque com capacidade para 180 litros tem inicialmente 80 litros de fluido nos quais 4 g de sal são dissolvidos. Uma solução salina contendo
de sal por litro é bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 4 litros por minuto. A mistura é então drenada a uma taxa de 3 litros por minuto. Descubra quantos gramas de sal haverá no tanque quando ele atingir sua capacidade máxima.
Determinar uma função
cujo o gráfico passe pelo ponto
e tal que a reta tangente no ponto genérico
tenha coeficiente angulax