Esboce (qualitativamente) os gráficos das soluções da EDO para as seguintes condiçōes iniciais:(d)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente esboçar qualitativamente os gráficos das soluções da equação diferencial ordinária (EDO) com a condição inicial . A matéria aqui envolve EDOs e o comportamento das soluções com base na derivada dada. Para resolver, vamos precisar entender como a função derivada influencia o comportamento de .

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a equação . Isso nos diz que a taxa de variação de em relação ao tempo é igual ao cosseno de . Ou seja, dependendo do valor de , pode estar aumentando ou diminuindo.

Passo 3

Agora, vamos pensar na condição inicial . O valor é um ponto especial para o cosseno, pois . Mas estamos um pouco antes desse ponto, a .

Passo 4

Vamos calcular . Sabemos que no intervalo entre e , o cosseno vai de -1 aumentando até 0. Então, será um valor negativo, mas próximo de 0.

Passo 5

Como é negativo nesse ponto inicial, isso significa que vai diminuir. Ou seja, se aumenta um pouco, vai se mover para valores menores que .

Passo 6

Vamos pensar no comportamento a longo prazo. Conforme diminui, fazemos com que se aproxime de um ponto onde , que é . Porém, como a derivada nunca será exatamente zero, nunca alcança exatamente , mas fica cada vez mais próximo disso.

Passo 7

Então, o gráfico de vai ser uma curva que se aproxima assintoticamente de conforme aumenta. Começando em no tempo , a solução vai se movendo em direção a sem nunca alcançá-lo exatamente.

Resposta

O gráfico de começa em e diminui gradualmente, aproximando-se assintoticamente de conforme o tempo aumenta.

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