Determine o conjunto solução da desigualdade em
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a desigualdade
que está no conjunto dos números reais
. Para isso, vamos precisar usar conhecimentos de inequações envolvendo frações e entender como manipular inequações para encontrar os valores de
que satisfazem essa condição.
Passo 2
Primeiro, vamos garantir que as expressões nas frações não sejam iguais a zero, porque não podemos dividir por zero. Então, identificamos os valores de
que tornam o denominador zero.
- Para
, temos . - Para
, temos .
Esses valores não fazem parte das soluções, pois tornam as frações indefinidas.
Passo 3
Agora, vamos reescrever a desigualdade para que possamos resolver de forma mais fácil. Vamos trazer todos os termos para um lado:
Passo 4
Para subtrair as frações, precisamos de um denominador comum. O denominador comum entre
e
é
. Então, reescrevemos as frações:
Passo 5
Agora, combinamos as frações:
Simplificando o numerador:
Então, a desigualdade fica:
Passo 6
Agora, vamos encontrar os pontos onde a expressão muda de sinal. São os valores que tornam o numerador ou o denominador zero:
Esses pontos dividem a reta real em intervalos que vamos analisar.
Passo 7
Vamos determinar o sinal da expressão
em cada intervalo:
-
Para
: -
é negativo. -
é negativo. -
é negativo. - Resultado:
-
-
Para
: -
é negativo. -
é positivo. -
é negativo. - Resultado:
-
-
Para
: -
é negativo. -
é positivo. -
é positivo. - Resultado:
-
-
Para
: -
é positivo. -
é positivo. -
é positivo. - Resultado:
-
Passo 8
Queremos onde a expressão é menor que zero, ou seja, onde é negativa. Observando os intervalos:
Resposta
O conjunto solução da desigualdade é: