Determine o conjunto solução da desigualdade em R.
1/(x+1) < 2/(3x-1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a desigualdade que está no conjunto dos números reais R. Para isso, vamos precisar usar conhecimentos de inequações envolvendo frações e entender como manipular inequações para encontrar os valores de x que satisfazem essa condição.

Passo 2

Primeiro, vamos garantir que as expressões nas frações não sejam iguais a zero, porque não podemos dividir por zero. Então, identificamos os valores de x que tornam o denominador zero.
  • Para , temos .
  • Para , temos .
Esses valores não fazem parte das soluções, pois tornam as frações indefinidas.

Passo 3

Agora, vamos reescrever a desigualdade para que possamos resolver de forma mais fácil. Vamos trazer todos os termos para um lado:

Passo 4

Para subtrair as frações, precisamos de um denominador comum. O denominador comum entre e é . Então, reescrevemos as frações:

Passo 5

Agora, combinamos as frações:
Simplificando o numerador:
Então, a desigualdade fica:

Passo 6

Agora, vamos encontrar os pontos onde a expressão muda de sinal. São os valores que tornam o numerador ou o denominador zero:
Esses pontos dividem a reta real em intervalos que vamos analisar.

Passo 7

Vamos determinar o sinal da expressão em cada intervalo:
  1. Para :
    • é negativo.
    • é negativo.
    • é negativo.
    • Resultado:
  2. Para :
    • é negativo.
    • é positivo.
    • é negativo.
    • Resultado:
  3. Para :
    • é negativo.
    • é positivo.
    • é positivo.
    • Resultado:
  4. Para :
    • é positivo.
    • é positivo.
    • é positivo.
    • Resultado:

Passo 8

Queremos onde a expressão é menor que zero, ou seja, onde é negativa. Observando os intervalos:

Resposta

O conjunto solução da desigualdade é:

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