Nas questões de 5 a 8 determine o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função definida implicitamente pela equação dada para o valor indicado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem a equação
e quer encontrar o coeficiente angular da reta tangente nesse ponto onde
. Isso significa que a gente precisa descobrir a inclinação da reta que toca o gráfico dessa função exatamente nesse ponto. Para resolver isso, vamos usar o diferencial implícito, que é uma técnica pra encontrar a derivada quando y está ligada a x de forma mais complicada.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a equação que temos:
. Queremos achar a derivada
quando
.
Passo 3
Vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a
. Lembrando que
é uma função de
, então usamos a regra do produto:
Passo 4
Aplicando a regra do produto no lado esquerdo:
E a derivada do lado direito é zero, porque a derivada de uma constante é zero:
Então temos:
Passo 5
Agora, vamos isolar
:
Passo 6
Precisamos encontrar o valor de
quando
. Para isso, primeiro vamos achar o valor de
quando
usando a equação original
:
Passo 7
Agora, substituímos
e
na expressão da derivada:
Resposta
O coeficiente angular da reta tangente no ponto onde
é
.
Exercícios relacionados
Nas questões de 1 a 4 encontre dy/ dx através de derivação implícita:
Sabendo que
e
estão relacionados pela equação
, determine
usando derivação implícita.
Nas questões de 5 a 8 determine o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função definida implicitamente pela equação dada para o valor indicado.
Determinar se a integral imprópria é convergente ou divergente. Se convergente, calcule-a.
i)
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