Determinar se a integral imprópria é convergente ou divergente. Se convergente, calcule-a.
e)

Passo 1

Estamos vendo uma integral imprópria: . Nosso objetivo é descobrir se essa integral converge (tem um valor finito) ou diverge, e se convergir, calcular seu valor. Para resolver isso, vamos usar conceitos de simetria de funções e análise de convergência de integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos observar a função dentro da integral: . Notamos que essa função é ímpar, ou seja, se substituirmos por , temos . Funções ímpares têm uma propriedade especial quando integradas em intervalos simétricos em relação à origem.

Passo 3

Sabendo que é ímpar, a integral de a (onde tende ao infinito) de uma função ímpar é sempre zero. Isso porque as áreas positivas e negativas se cancelam exatamente. Matemáticamente, isso é expresso como:

Passo 4

Embora a simetria nos ajude a concluir que a integral é zero, precisamos garantir que a integral realmente converge. Observando o comportamento de quando tende ao infinito, temos:
A integral de de a converge, pois o expoente . Portanto, a nossa integral original também converge.

Passo 5

Com a confirmação da convergência e a propriedade da função ímpar, podemos concluir que:

Resposta

A integral converge e seu valor é .

Exercícios relacionados

Determine a solução completa das equações não-homogêneas:
Questão 6. (1,0) Uma caixa fechada com base quadrada deve ter volume de . O material usado para confeccionar a tampa e a base da caixa custa por e o material usado nas laterais custa por . Determine as dimensões da caixa de menor custo.
Questão 7. Calcule os limites abaixo usando as regras de La)
Resolva os problemas de valor inicial abaixo: ;