Determinar se a integral imprópria é convergente ou divergente. Se convergente, calcule-a.
e)
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Passo 1
Estamos vendo uma integral imprópria:
. Nosso objetivo é descobrir se essa integral converge (tem um valor finito) ou diverge, e se convergir, calcular seu valor. Para resolver isso, vamos usar conceitos de simetria de funções e análise de convergência de integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos observar a função dentro da integral:
. Notamos que essa função é ímpar, ou seja, se substituirmos
por
, temos
. Funções ímpares têm uma propriedade especial quando integradas em intervalos simétricos em relação à origem.
Passo 3
Sabendo que
é ímpar, a integral de
a
(onde
tende ao infinito) de uma função ímpar é sempre zero. Isso porque as áreas positivas e negativas se cancelam exatamente. Matemáticamente, isso é expresso como:
Passo 4
Embora a simetria nos ajude a concluir que a integral é zero, precisamos garantir que a integral realmente converge. Observando o comportamento de
quando
tende ao infinito, temos:
A integral de
de
a
converge, pois o expoente
. Portanto, a nossa integral original também converge.
Passo 5
Com a confirmação da convergência e a propriedade da função ímpar, podemos concluir que:
Resposta
A integral converge e seu valor é
.
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por
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por
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Resolva os problemas de valor inicial abaixo:
;