Determinar se a integral imprópria é convergente ou divergente. Se convergente, calcule-a.
e) integral-infty^+infty x(1+x^2)^2 d x

Passo 1

Estamos vendo uma integral imprópria: integral-infty^+infty x(1+x^2)^2 dx. Nosso objetivo é descobrir se essa integral converge (tem um valor finito) ou diverge, e se convergir, calcular seu valor. Para resolver isso, vamos usar conceitos de simetria de funções e análise de convergência de integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos observar a função dentro da integral: f(x) = x(1+x^2)^2. Notamos que essa função é ímpar, ou seja, se substituirmos x por -x, temos f(-x) = -f(x). Funções ímpares têm uma propriedade especial quando integradas em intervalos simétricos em relação à origem.

Passo 3

Sabendo que f(x) é ímpar, a integral de -A a A (onde A tende ao infinito) de uma função ímpar é sempre zero. Isso porque as áreas positivas e negativas se cancelam exatamente. Matemáticamente, isso é expresso como:
integral-A^A f(x) dx = 0

Passo 4

Embora a simetria nos ajude a concluir que a integral é zero, precisamos garantir que a integral realmente converge. Observando o comportamento de f(x) quando x tende ao infinito, temos:
f(x) approx xx^4 = 1x^3
A integral de 1x^3 de 1 a infty converge, pois o expoente 3 > 1. Portanto, a nossa integral original também converge.

Passo 5

Com a confirmação da convergência e a propriedade da função ímpar, podemos concluir que:
integral-infty^+infty x(1+x^2)^2 dx = 0

Resposta

A integral converge e seu valor é 0.

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