Questão 6. (1,0) Uma caixa fechada com base quadrada deve ter volume de . O material usado para confeccionar a tampa e a base da caixa custa por e o material usado nas laterais custa por . Determine as dimensões da caixa de menor custo.

Passo 1

Vamos lá! A gente tem que criar uma caixa fechada com base quadrada que tenha um volume de . O objetivo é descobrir quais devem ser as dimensões dessa caixa para que o custo dos materiais seja o menor possível. Para isso, vamos precisar usar conhecimentos de geometria e otimização, além de entender como calcular o custo a partir das áreas das diferentes partes da caixa.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as dimensões da caixa. Como a base é quadrada, vamos chamar o lado da base de cm e a altura da caixa de cm. O volume da caixa é dado por:
Sabemos que o volume deve ser , então:

Passo 3

Agora, vamos expressar a altura em função de . Isso vai nos ajudar a reduzir as incógnitas na hora de calcular o custo.

Passo 4

Vamos calcular as áreas das diferentes partes da caixa. A caixa tem uma base e uma tampa, ambas com área , e quatro laterais, cada uma com área .
Área da base:
Área da tampa:
Área total das laterais:

Passo 5

Agora, vamos calcular o custo total dos materiais usados. O material da base e da tampa custa R$ 3,00 por e o das laterais custa R$ 5,00 por .
Custo da base e da tampa:
Custo das laterais:
Então, o custo total é:
Substituindo pela expressão que encontramos:

Passo 6

Para encontrar o valor mínimo do custo, vamos derivar a função em relação a e igualar a zero.
Primeiro, a derivada de em relação a :
Igualando a derivada a zero:

Passo 7

Resolvendo a equação:
Multiplicando ambos os lados por :
Dividindo por 12:
Extraindo a raiz cúbica:

Passo 8

Agora que encontramos , vamos encontrar a altura :

Resposta

As dimensões da caixa de menor custo são:
  • Lado da base:
  • Altura:

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