Questão 6. (1,0) Uma caixa fechada com base quadrada deve ter volume de
. O material usado para confeccionar a tampa e a base da caixa custa
por
e o material usado nas laterais custa
por
. Determine as dimensões da caixa de menor custo.
Passo 1
Vamos lá! A gente tem que criar uma caixa fechada com base quadrada que tenha um volume de
. O objetivo é descobrir quais devem ser as dimensões dessa caixa para que o custo dos materiais seja o menor possível. Para isso, vamos precisar usar conhecimentos de geometria e otimização, além de entender como calcular o custo a partir das áreas das diferentes partes da caixa.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as dimensões da caixa. Como a base é quadrada, vamos chamar o lado da base de
cm e a altura da caixa de
cm. O volume da caixa é dado por:
Sabemos que o volume deve ser
, então:
Passo 3
Agora, vamos expressar a altura
em função de
. Isso vai nos ajudar a reduzir as incógnitas na hora de calcular o custo.
Passo 4
Vamos calcular as áreas das diferentes partes da caixa. A caixa tem uma base e uma tampa, ambas com área
, e quatro laterais, cada uma com área
.
Área da base:
Área da tampa:
Área total das laterais:
Área da tampa:
Área total das laterais:
Passo 5
Agora, vamos calcular o custo total dos materiais usados. O material da base e da tampa custa R$ 3,00 por
e o das laterais custa R$ 5,00 por
.
Custo da base e da tampa:
Custo das laterais:
Então, o custo total
é:
Substituindo
pela expressão que encontramos:
Passo 6
Para encontrar o valor mínimo do custo, vamos derivar a função
em relação a
e igualar a zero.
Primeiro, a derivada de
em relação a
:
Igualando a derivada a zero:
Passo 7
Resolvendo a equação:
Multiplicando ambos os lados por
:
Dividindo por 12:
Extraindo a raiz cúbica:
Passo 8
Agora que encontramos
, vamos encontrar a altura
:
Resposta
As dimensões da caixa de menor custo são:
- Lado da base:
- Altura:
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