Determine a solução completa das equações não-homogêneas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial não-homogênea:
. O conteúdo envolvido aqui é equações diferenciais lineares de segunda ordem. Para resolver, a gente vai precisar encontrar a solução da equação homogênea associada e depois uma solução particular para a equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, que é
. Para isso, usamos a equação característica, que ajuda a encontrar soluções do tipo exponencial.
A equação característica fica:
Resolvendo essa equação quadrática, encontramos as raízes:
Com essas raízes, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes que determinam a solução específica.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar uma solução particular (
) para a equação completa
. Como o lado direito da equação é uma constante (10), vamos tentar uma solução particular também constante.
Assumimos que
, onde
é uma constante a ser determinada.
Substituindo
na equação:
Então, a solução particular é:
Resposta
A solução completa da equação diferencial é:
onde
e
são constantes arbitrárias.