Determine a solução completa das equações não-homogêneas: y'' + 5y' + 6y = 10

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial não-homogênea: . O conteúdo envolvido aqui é equações diferenciais lineares de segunda ordem. Para resolver, a gente vai precisar encontrar a solução da equação homogênea associada e depois uma solução particular para a equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, que é . Para isso, usamos a equação característica, que ajuda a encontrar soluções do tipo exponencial.
A equação característica fica:
Resolvendo essa equação quadrática, encontramos as raízes:
Com essas raízes, a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes que determinam a solução específica.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar uma solução particular ( ) para a equação completa . Como o lado direito da equação é uma constante (10), vamos tentar uma solução particular também constante.
Assumimos que , onde é uma constante a ser determinada.
Substituindo na equação:
Então, a solução particular é:

Resposta

A solução completa da equação diferencial é:
onde e são constantes arbitrárias.

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