Vamos resolver um exercício de Geometria Analítica onde precisamos encontrar a interseção entre uma reta e um plano . Para isso, vamos usar sistemas de equações lineares e entender como uma reta pode ser representada por equações paramétricas. Precisaremos das equações da reta e do plano para encontrar o ponto de interseção.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as equações que definem a reta :
E a equação do plano :
Passo 3
Para encontrar a interseção, precisamos parametrizar a reta . Uma maneira de fazer isso é resolver o sistema de equações da reta para expressar duas variáveis em função de uma terceira, que usaremos como parâmetro, geralmente .
Vamos resolver o sistema:
Podemos escolher uma variável como parâmetro. Vamos escolher .
Passo 4
Com , substituímos na equação (2):
Agora, substituímos na equação (1):
Passo 5
Agora, temos o sistema:
Vamos resolver esse sistema para e em função de .
Multiplicamos a equação (4) por 2 para facilitar a eliminação:
Subtraímos a equação (3) da equação (5):
Passo 6
Agora que temos em função de , substituímos na equação (3) para encontrar :
Passo 7
Agora, temos as equações paramétricas da reta :
Passo 8
Para encontrar a interseção com o plano x + 3y + 2z - 5 = 0 , substituímos as equações paramétricas na equação do plano:
Agora que temos x = 4(3) - 25 = 12 - 25 = 105 = 2 y = 4 - 3(3)5 = 4 - 95 = -55 = -1 z = 3 , substituímos de volta nas equações paramétricas para encontrar o ponto de interseção: