Determinar a interseção da reta
r:l x-2 y-2 z+2=0 2 x+y-z=0 com o plano pi: x+3 y+2 z-5=0

Passo 1

Vamos resolver um exercício de Geometria Analítica onde precisamos encontrar a interseção entre uma reta e um plano . Para isso, vamos usar sistemas de equações lineares e entender como uma reta pode ser representada por equações paramétricas. Precisaremos das equações da reta e do plano para encontrar o ponto de interseção.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as equações que definem a reta x - 2y - 2z + 2 = 0 2x + y - z = 0 :
x + 3y + 2z - 5 = 0
E a equação do plano :

Passo 3

Para encontrar a interseção, precisamos parametrizar a reta x - 2y - 2z = -2 (1) 2x + y - z = 0 (2) . Uma maneira de fazer isso é resolver o sistema de equações da reta para expressar duas variáveis em função de uma terceira, que usaremos como parâmetro, geralmente .
Vamos resolver o sistema:
Podemos escolher uma variável como parâmetro. Vamos escolher .

Passo 4

Com 2x + y - t = 0 Rightarrow 2x + y = t (3) , substituímos na equação (2):
x - 2y - 2t = -2 Rightarrow x - 2y = 2t - 2 (4)
Agora, substituímos na equação (1):

Passo 5

Agora, temos o sistema:
2x + y = t (3) x - 2y = 2t - 2 (4)
Vamos resolver esse sistema para 2x - 4y = 4t - 4 (5) e (2x - 4y) - (2x + y) = (4t - 4) - t -5y = 3t - 4 y = 4 - 3t5 em função de .
Multiplicamos a equação (4) por 2 para facilitar a eliminação:
Subtraímos a equação (3) da equação (5):

Passo 6

Agora que temos 2x + 4 - 3t5 = t 2x = t - 4 - 3t5 2x = 5t - 4 + 3t5 2x = 8t - 45 x = 8t - 410 = 4t - 25 em função de , substituímos na equação (3) para encontrar :

Passo 7

Agora, temos as equações paramétricas da reta x = 4t - 25 y = 4 - 3t5 z = t :

Passo 8

Para encontrar a interseção com o plano x + 3y + 2z - 5 = 0 , substituímos as equações paramétricas na equação do plano:
4t - 25 + 3(4 - 3t5) + 2t - 5 = 0
Substituindo:

Passo 9

Vamos resolver a equação para 4t - 25 + 12 - 9t5 + 2t - 5 = 0 4t - 2 + 12 - 9t5 + 2t - 5 = 0 -5t + 105 + 2t - 5 = 0 - t + 2 + 2t - 5 = 0 t - 3 = 0 t = 3 :

Passo 10

Agora que temos x = 4(3) - 25 = 12 - 25 = 105 = 2 y = 4 - 3(3)5 = 4 - 95 = -55 = -1 z = 3 , substituímos de volta nas equações paramétricas para encontrar o ponto de interseção:

Resposta

A interseção da reta com o plano é o ponto .

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